Propositiologiikka

Propositiologiikka eli lauselogiikka on matematiikan ilmaisuväline, johon voi törmätä monenlaisessa terminologiassa ja kaikenlaisissa matemaattisissa lauseissa.

Mihin logiikkaa tarvitaan

Logiikka on tiede, joka tutkii päättelyä, totuutta, todistettavuutta ja kumottavuutta. Logiikassa kiinnostaa vain viestin muoto. Emme välitä siitä, mitä tarkalleen sanotaan, emmekä erilaisista psykologisista tulkinnoista tai muista vastaavista asioista.

Jos meillä on esimerkiksi lause ”luku 2 on parillinen ja samalla pariton”, voimme päätellä, ettei koko lause ole tosi, koska luku 2 ei ole pariton. Juuri tällaisia asioita logiikka yleensä tutkii.

Väite

Propositiologiikan perusta on luonnollisesti väite. Väite on mikä tahansa väitelause, jonka totuusarvon voimme määrittää. Esimerkkejä yksinkertaisista väitteistä:

• Helsinki on Suomen pääkaupunki.
• Luonnollinen luku viisi on pariton luku.
• HTML on ohjelmointikieli.
• Kaksi plus kolme on kuusi.

Nämä kaikki ovat väitteitä, olivatpa ne tosia (kaksi ensimmäistä) tai epätosia (kaksi viimeistä). Väite ei ole esimerkiksi kysymyslause eikä lause, jonka totuusarvoa emme voi määrittää yksiselitteisesti. Esimerkkejä:

• Onko Helsinki ensi vuonnakin Suomen suurin kaupunki?
• Vihreä väri on kaunein.

Ensimmäinen lause ei voi olla väite, koska se on kysymyslause. Toisen lauseen kohdalla emme voi päättää, onko se tosi vai epätosi. Tällaista lausetta kutsutaan hypoteesiksi (otaksumaksi).

Klassinen matemaattinen logiikka ei pärjää kovin hyvin epämääräisten lauseiden kanssa, kuten ”Onni on pitkä” tai ”Aino on hyvä laulaja”. Tällaisia väitteitä käsitellään paremmin esimerkiksi sumeassa logiikassa, joka on tehty epämääräisyyttä varten.

Atomilause

Ensimmäisessä luvussa meillä oli esimerkkinä väite ”luku 2 on parillinen ja samalla pariton”. Sitä voidaan kutsua yhdistetyksi väitteeksi, koska se yhdistää oikeastaan kaksi lyhyempää väitettä: ”luku 2 on parillinen” ja ”luku 2 on pariton”. Nämä kaksi väitettä on yhdistetty konnektiivilla ”ja” eli ”ja samalla”.

Atomilause on siis väite, jota emme voi enää jakaa pienempiin osiin. Se on tietyssä mielessä yksinkertaisin mahdollinen toteamus. Edelliset esimerkit olivat itse asiassa atomilauseita:

• Helsinki on Suomen pääkaupunki.
• Luonnollinen luku viisi on pariton luku.
• HTML on ohjelmointikieli.
• Kaksi plus kolme on kuusi.

Atomilauseita merkitään jatkossa aakkosten pienillä kirjaimilla, tavallisesti p, q, r, …, ja niitä kutsutaan propositiosymboleiksi.

Konnektiivit

Matemaattisessa logiikassa käytetään yleensä tiettyä joukkoa konnektiiveja. Perustavia binäärisiä konnektiiveja on neljä:

• p ∧ q on väitteiden konjunktio, luetaan ”väite p ja (samalla) väite q”
• p ∨ q on väitteiden disjunktio, luetaan ”väite p tai väite q”
• p ⇒ q on implikaatio, luetaan ”jos väite p, niin väite q”
• p ⇔ q on ekvivalenssi, luetaan ”väite p jos ja vain jos väite q”

Konkreettisia esimerkkejä konnektiiveista:

• Tampereen keskustassa sataa ja samalla paistaa aurinko. (konjunktio)
• Tampereen keskustassa sataa tai paistaa aurinko. (disjunktio)
• Pizza on maailman paras ruoka ja Eino on paras kokki. (konjunktio)
• Jos otat ulostuslääkettä, niin pian tarvitset vessaa. (implikaatio)
• Jos luku x on jaollinen neljällä, niin se on myös jaollinen kahdella. (implikaatio)
• Venla on kaunis ja samalla fiksu. (konjunktio)
• Laulajat ovat menestyneitä jos ja vain jos he ovat kauniita. (ekvivalenssi)
• Jos ei sada, emme kastu. (implikaatio)
• Jos Pekka osaa laulaa, niin minä olen kiinalainen huumorin jumala. (implikaatio)

Tunnemme vielä yhden yleisen konnektiivin: negaation. Negaatiota merkitään symbolilla ¬p (joskus myös pilkulla p′).

Kaava

Propositiosymboleista (atomilauseista) ja konnektiiveista voimme koota monimutkaisempia väitteitä, joita kutsumme kaavoiksi. Kaikki edellisen luettelon lauseet olivat itse asiassa kaavoja, koska meillä oli kaksi atomikaavaa, esimerkiksi ”Tampereen keskustassa sataa” ja ”paistaa aurinko”, ja yhdistimme ne konnektiiveilla. Ensimmäisessä tapauksessa yhdistimme ne konnektiivilla ”ja samalla” ja saimme kaavan ”Tampereen keskustassa sataa ja samalla paistaa aurinko”. Toisessa tapauksessa käytimme sanaa ”tai” ja saimme kaavan ”Tampereen keskustassa sataa tai paistaa aurinko”.

Määrittelemme kaavan muodollisesti seuraavasti:

• Jokainen propositiosymboli (atomilause) on kaava (tarkemmin sanottuna atomikaava).
• Jos A ja B ovat kaavoja, myös ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B) ja (A ⇔ B) ovat kaavoja.

Määritelmällä on järkeä: ensimmäisessä kohdassa sanomme, että jokainen atomilause on samalla kaava. Jos meillä on siis kaksi atomilausetta, esimerkiksi ”Tampereen keskustassa sataa” ja ”paistaa aurinko”, meillä on samalla kaksi kaavaa. Nyt voimme soveltaa toista kohtaa ja koota monimutkaisemman kaavan vaikkapa näin:

• Tampereen keskustassa sataa ja samalla paistaa aurinko.
• Tampereen keskustassa sataa tai paistaa aurinko.
• Jos Tampereen keskustassa paistaa aurinko, niin sataa.
• Aurinko paistaa Tampereen keskustassa jos ja vain jos sataa.

Kaavojen ei tietenkään tarvitse olla tosia. Nyt saimme uuden joukon kaavoja, joten voimme koota vielä monimutkaisempia. Merkitään A = ”Tampereen keskustassa paistaa aurinko tai sataa.” (tiedämme jo, että tämä on kaava) ja B = ”näkyy sateenkaari” (oletetaan, että sekin Tampereen keskustassa, jotta emme joudu toistamaan sitä koko ajan). Voimme sitten muodostaa lisää kaavoja. Lauseiden sulut vain osoittavat, mihin osiin konnektiivi liittyy.

• A ∧ B: (Tampereen keskustassa paistaa aurinko tai sataa) ja samalla (näkyy sateenkaari).
• A ∨ B: (Tampereen keskustassa paistaa aurinko tai sataa) tai (näkyy sateenkaari).
• A ⇒ B: (Jos Tampereen keskustassa paistaa aurinko tai sataa), niin (näkyy sateenkaari).
• A ⇔ B: (Tampereen keskustassa paistaa aurinko tai sataa) jos ja vain jos (näkyy sateenkaari).

Nämä ovat kaikki kaavoja. Voimme siis taas ottaa jonkin näistä kaavoista ja liittää siihen uuden kaavan. Näin saamme aikaan vaikkapa kummajaisen ”Jos Tampereen keskustassa paistaa aurinko tai sataa tai näkyy sateenkaari, niin aurinko paistaa tai sataa jos ja vain jos näkyy sateenkaari.”

Seuraavassa osassa tutkimme kaavojen totuusarvoja.