Lógica proposicional

La lógica proposicional (o lógica matemática) es un medio de expresión de las matemáticas que encontramos con distintas terminologías y en todo tipo de teoremas matemáticos.

Para qué sirve la lógica

La lógica es la ciencia que se ocupa del razonamiento, de la verdad, de la demostrabilidad y de la refutabilidad. En todo ello a la lógica le interesa solo la forma del enunciado; no nos importa qué se dice en concreto, ni tampoco las distintas interpretaciones psicológicas y cosas parecidas.

Si tenemos, por ejemplo, la frase «el número 2 es par y a la vez es impar», podemos concluir que la frase entera no es verdadera, porque el número 2 no es impar. Estas son las cosas que resuelve la lógica en general.

Proposición

La base de la lógica proposicional es, como es natural, la proposición. Una proposición es toda oración enunciativa de la que podemos determinar su valor de verdad. Ejemplos de proposiciones sencillas:

• Madrid es la capital de España.
• El número natural cinco es impar.
• HTML es un lenguaje de programación.
• Dos más tres son seis.

Todas estas son proposiciones, ya sean verdaderas (las dos primeras) o falsas (las dos últimas). No es una proposición, por ejemplo, una oración interrogativa ni una oración de la que no podemos determinar con claridad su valor de verdad. De nuevo, un ejemplo:

• ¿Será Madrid la ciudad más grande de España también el año que viene?
• El verde es el color más bonito.

La primera oración no puede ser una proposición porque es interrogativa; de la segunda, en cambio, no podemos decidir si es una proposición verdadera o falsa. Una oración así se llama hipótesis (conjetura).

La lógica matemática clásica no sabe manejar muy bien las oraciones vagas como «Hugo es alto» o «Sofía canta bien». Estas proposiciones se tratan mejor, por ejemplo, en la lógica difusa, que está pensada para la vaguedad.

Proposición atómica

En el primer apartado teníamos el ejemplo de la proposición «el número 2 es par y a la vez es impar». Una proposición así se llama compuesta, porque en realidad une dos proposiciones más cortas: «el número 2 es par» y «el número 2 es impar». Estas dos proposiciones están unidas por la conectiva lógica «y» o también «y a la vez».

Una proposición atómica es, por tanto, una proposición que ya no podemos dividir más; es, en cierto sentido, la afirmación más sencilla. Los ejemplos de proposiciones anteriores eran en realidad proposiciones atómicas:

• Madrid es la capital de España.
• El número natural cinco es impar.
• HTML es un lenguaje de programación.
• Dos más tres son seis.

Las proposiciones atómicas las designaremos en adelante con letras minúsculas del alfabeto, normalmente p, q, r, …, y las llamaremos variables proposicionales.

Conectivas lógicas

La lógica matemática trabaja habitualmente con un conjunto determinado de conectivas lógicas. Entre las básicas están las cuatro conectivas binarias:

• p ∧ q es la conjunción de proposiciones, se lee «la proposición p y (a la vez) la proposición q»
• p ∨ q es la disyunción de proposiciones, se lee «la proposición p o la proposición q»
• p ⇒ q es la implicación, se lee «si la proposición p, entonces la proposición q»
• p ⇔ q es la equivalencia, se lee «la proposición p si y solo si la proposición q»

Ejemplos concretos de conectivas lógicas:

• En el centro de Sevilla llueve y a la vez brilla el sol. (conjunción)
• En el centro de Sevilla llueve o brilla el sol. (disyunción)
• Hugo es el más gracioso de la clase y Sofía es la más lista. (conjunción)
• Si te tomas un laxante, entonces pronto tendrás que ir al baño. (implicación)
• Si el número x es divisible entre cuatro, entonces también es divisible entre dos. (implicación)
• Lucía es guapa y a la vez lista. (conjunción)
• Las cantantes tienen éxito si y solo si son guapas. (equivalencia)
• Si no llueve, no nos mojaremos. (implicación)
• Si Hugo sabe cantar, entonces los cerdos vuelan. (implicación)

Conocemos todavía otra conectiva lógica habitual: la negación. La negación se designa con una prima, p′, o con el símbolo ¬p.

Fórmula

Con variables proposicionales (proposiciones atómicas) y conectivas lógicas podemos componer una proposición más complicada, a la que llamaremos fórmula. Todos los ejemplos de la lista de oraciones anterior eran en realidad fórmulas, porque teníamos dos fórmulas atómicas, por ejemplo «en el centro de Sevilla llueve» y «brilla el sol», y las unimos mediante conectivas lógicas. En el primer caso las unimos con la conectiva «y a la vez» y obtuvimos la fórmula «en el centro de Sevilla llueve y a la vez brilla el sol»; en el segundo caso usamos «o» y obtuvimos la fórmula «en el centro de Sevilla llueve o brilla el sol».

Definimos formalmente una fórmula así:

• Toda variable proposicional (proposición atómica) es una fórmula (más exactamente, se trata de una fórmula atómica).
• Si A y B son fórmulas, entonces también lo son ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B).

La definición tiene sentido: en el primer punto decimos que toda proposición atómica es a la vez una fórmula. Así que si tenemos dos proposiciones atómicas, por ejemplo «en el centro de Sevilla llueve» y «brilla el sol», tenemos a la vez dos fórmulas. Ahora podemos aplicar el segundo punto y construir una fórmula más complicada, por ejemplo así:

• En el centro de Sevilla llueve y a la vez brilla el sol.
• En el centro de Sevilla llueve o brilla el sol.
• Si en el centro de Sevilla brilla el sol, entonces llueve.
• El sol brilla en el centro de Sevilla si y solo si llueve.

Las fórmulas, por supuesto, no tienen por qué ser verdaderas. Ahora hemos obtenido otro conjunto de fórmulas, así que podemos componer fórmulas todavía más complicadas. Si designamos A=«En el centro de Sevilla brilla el sol o llueve.» (ya sabemos que es una fórmula) y B=«se ve el arcoíris» (supongamos que también en el centro de Sevilla, para no repetirlo continuamente), podemos crear otras fórmulas. Los paréntesis de las oraciones solo señalan a qué partes se refiere la conectiva.

• A ∧ B: (En el centro de Sevilla brilla el sol o llueve) y a la vez (se ve el arcoíris).
• A ∨ B: (En el centro de Sevilla brilla el sol o llueve) o (se ve el arcoíris).
• A ⇒ B: Si (en el centro de Sevilla brilla el sol o llueve), entonces (se ve el arcoíris).
• A ⇔ B: (En el centro de Sevilla brilla el sol o llueve) si y solo si (se ve el arcoíris).

Todas estas son fórmulas. Así que de nuevo podemos tomar una de ellas y unirle otra fórmula. Podemos crear así, por ejemplo, el engendro «Si en el centro de Sevilla brilla el sol o llueve o se ve el arcoíris, entonces brilla el sol o llueve si y solo si se ve el arcoíris».

En la siguiente parte estudiaremos el valor de verdad de las fórmulas.