Faktoriális

Az n szám faktoriálisa az n-nél nem nagyobb pozitív egész számok szorzata. A faktoriálist felkiáltójellel jelöljük: n!. A nullára pedig 0! = 1. A faktoriálist főleg a kombinatorikában használjuk, ahol segítségével például a permutációk számát számoljuk ki. Például az öt faktoriálisa 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

A faktoriális definíciója

A faktoriálist többféleképpen is definiálhatjuk. Ezek közül a legegyszerűbb valószínűleg a következő:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{ha }n=0\\ n\cdot (n-1)!& \text{egyébként}\end{array}$$

Megadhatjuk a definíciót szorzat segítségével is:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Végül pedig az integrál segítségével:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Számolás faktoriálisokkal

Faktoriálisokkal gyakran törtekben számolunk. Ilyenkor azt használjuk ki, hogy n! = n · (n − 1)!. Ez a definícióból következik, egy példán meg is mutatjuk. Tudjuk, hogy a négy faktoriálisa, 4!, a következő pozitív egész számok szorzata: 4 · 3 · 2 · 1. Ugyanakkor felírhatjuk, hogy a 3 · 2 · 1 szorzat a három faktoriálisával egyenlő: 3 · 2 · 1 = 3!. A négy faktoriálisát így már felírhatjuk 4! = 4 · 3! alakban is.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Ennek köszönhetően a törtekben szereplő sok különböző faktoriálist hatékonyan egyszerűsíthetjük. Mintapélda – egyszerűsítsd a kifejezést:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Az egyszerűsítést az imént említett képlet szerint végezzük. A számlálóban a faktoriálist felbonthatjuk n · (n − 1)! alakra, ezt pedig (ugyanezen képlet szerint) tovább bonthatjuk n · (n − 1) · (n − 2)! alakra. Most már szépen egyszerűsíthetjük a törtet:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Egy másik példa:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

És az utolsó példa a faktoriálisra:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$