Съждителна логика

Съждителната (математическата) логика е средство за изразяване в математиката, с което можем да се срещнем в различна терминология и във всевъзможни математически теореми.

За какво е логиката

Логиката е наука, която се занимава с разсъжденията, истинността, доказуемостта и опровержимостта. При това в логиката ни интересува само формата на съобщението, не ни интересува какво конкретно се съобщава, както и не ни интересуват различни психологически тълкувания и подобни неща.

Ако например имаме изречението „числото 2 е четно и същевременно е нечетно“, можем да заключим, че цялото изречение не е вярно, защото числото 2 не е нечетно. С такива неща се занимава логиката в общия случай.

Съждение

Основата на съждителната логика, естествено, е съждението. Съждение е всяко повествователно изречение, за което можем да определим истинностната му стойност. Примери за прости съждения:

• Земята е третата планета от Слънцето.
• Естественото число пет е нечетно число.
• HTML е език за програмиране.
• Две плюс три е шест.

Всичко това са съждения. Независимо дали са верни (първите две), или са неверни (последните две). Съждение не е например въпросително изречение или изречение, за което не можем еднозначно да определим истинностната му стойност. Отново пример:

• Ще вали ли утре в София?
• Зеленият цвят е най-красив.

Първото изречение не може да е съждение, защото е въпросително, а при второто пък не можем да определим дали е вярно, или невярно съждение. Такова изречение се нарича хипотеза (предположение).

Класическата математическа логика не се справя много добре с размити изречения като „Иван е висок“ или „Тази певица е добра“. Такива изказвания се обработват по-добре например в размитата логика, която е пригодена за неопределеност.

Просто съждение

В първия раздел имахме пример за съждението „числото 2 е четно и същевременно е нечетно“. Такова съждение можем да наречем съставно, защото в действителност свързва две по-кратки съждения: „числото 2 е четно“ и „числото 2 е нечетно“. Тези две съждения са свързани с логическата връзка „и“ или още „и същевременно“.

Простото (атомарното) съждение е съждение, което не можем да делим по-нататък, в известен смисъл става дума за най-простото твърдение. Предишните примери за съждения всъщност бяха прости съждения:

• Земята е третата планета от Слънцето.
• Естественото число пет е нечетно число.
• HTML е език за програмиране.
• Две плюс три е шест.

Простите съждения ще означаваме по-нататък с малки букви от азбуката, обикновено p, q, r, …, и ще ги наричаме съждителни символи.

Логически връзки

Математическата логика обикновено работи с определен набор от логически връзки. Към основните спадат четири двуместни връзки:

• p ∧ q е конюнкция на съжденията, четем „съждението p и (същевременно) съждението q“
• p ∨ q е дизюнкция на съжденията, четем „съждението p или съждението q“
• p ⇒ q е импликация, четем „ако съждението p, то съждението q“
• p ⇔ q е еквивалентност, четем „съждението p тогава и само тогава, когато съждението q“

Конкретни примери за логически връзки:

• В центъра на Русе вали и същевременно грее слънце. (конюнкция)
• В центъра на Русе вали или грее слънце. (дизюнкция)
• Пловдив е най-хубавият град и Иван е най-готиният тип. (конюнкция)
• Ако вземеш слабително, то скоро ще ти се наложи да изтичаш до тоалетната. (импликация)
• Ако числото x се дели на четири, то се дели и на две. (импликация)
• Ана е красива и същевременно умна. (конюнкция)
• Певиците са успешни тогава и само тогава, когато са красиви. (еквивалентност)
• Ако не вали, няма да се намокрим. (импликация)
• Ако Иван умее да пее, то аз съм китайският бог на шегите. (импликация)

Знаем още една често използвана логическа връзка: отрицанието. Отрицанието се означава или с щрих p′, или със символа ¬p.

Формула

С помощта на съждителни символи (прости съждения) и логически връзки можем да съставим по-сложно съждение, което ще наричаме формула. Всички примери в предишния списък с изречения всъщност бяха формули, защото имахме две атомарни формули, например „В центъра на Русе вали“ и „грее слънце“, и ги свързахме с логически връзки. В първия случай ги свързахме с връзката „и същевременно“ и получихме формулата „В центъра на Русе вали и същевременно грее слънце“, във втория случай използвахме „или“ и получихме формулата „В центъра на Русе вали или грее слънце“.

Формално определяме формулата така:

• Всеки съждителен символ (просто съждение) е формула (по-точно можем да кажем, че става дума за атомарна формула).
• Ако A и B са формули, то и ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) са формули.

Определението има смисъл: в първата точка казваме, че всяко просто съждение е същевременно формула. Така че ако имаме две прости съждения, например „В центъра на Русе вали“ и „грее слънце“, то имаме и две формули. Сега можем да приложим втората точка и да съставим по-сложна формула например така:

• В центъра на Русе вали и същевременно грее слънце.
• В центъра на Русе вали или грее слънце.
• Ако в центъра на Русе грее слънце, то вали.
• Слънцето в центъра на Русе грее тогава и само тогава, когато вали.

Формулите, разбира се, не е задължително да са верни. Получихме нов набор от формули, така че можем да съставим още по-сложни формули. Ако означим A=„В центъра на Русе грее слънце или вали.“ (вече знаем, че това е формула) и B=„вижда се дъга“ (нека предположим, че пак в центъра на Русе, за да не повтаряме непрекъснато), то можем да образуваме нови формули. Скобите в изреченията само показват към кои части се отнася връзката.

• A ∧ B: (В центъра на Русе грее слънце или вали) и същевременно (вижда се дъга).
• A ∨ B: (В центъра на Русе грее слънце или вали) или (вижда се дъга).
• A ⇒ B: (Ако в центъра на Русе грее слънце или вали), то (вижда се дъга).
• A ⇔ B: (В центъра на Русе грее слънце или вали) тогава и само тогава, когато (вижда се дъга).

Всичко това са формули. Така че пак можем да вземем една от тези формули и да прибавим към нея някоя друга формула. Можем да създадем например чудатото изречение „Ако в центъра на Русе грее слънце или вали, или се вижда дъга, то слънцето грее или вали тогава и само тогава, когато се вижда дъга.“

В следващата част ще разгледаме истинността на формулите.