Συνέχεια συνάρτησης

Η συνέχεια μιας συνάρτησης μας λέει, όπως υποδηλώνει και η διαίσθηση, αν η συνάρτηση είναι σε ένα δεδομένο σημείο συνεχής ή αν έχει κάπου «σπάσει». Τη συνέχεια την ορίζουμε και την υπολογίζουμε με τη βοήθεια των ορίων συναρτήσεων. Αν δεν τα έχεις καταλάβει, δεν θα μπορέσεις να παρακολουθήσεις.

Ορισμός της συνέχειας συνάρτησης

Η συνέχεια ορίζεται παραδόξως αρκετά απλά και γίνεται εύκολα κατανοητή, αν έχεις κατανοήσει καλά τα όρια. Ορίζουμε λοιπόν τη συνέχεια συνάρτησης:

Η συνάρτηση f(x) λέγεται συνεχής στο σημείο a του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, όταν ισχύει:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Μπορούμε επίσης να ορίσουμε τη συνέχεια από αριστερά και από δεξιά, αν στο όριο βάλουμε το όριο από αριστερά ή από δεξιά. Παρατήρησε τα εξής:

• Μέχρι στιγμής ορίσαμε μόνο τη συνέχεια της συνάρτησης f σε ένα σημείο. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, τότε μπορούμε να πούμε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση σε όλο το πεδίο ορισμού.
• Το σημείο a στον ορισμό της συνέχειας πρέπει να είναι σημείο συσσώρευσης.
• Για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο σημείο a, πρέπει να υπάρχει το f(a) (η τιμή a πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης), πρέπει να υπάρχει το όριο $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ και τα δύο να είναι ίσα.
• Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα σημείο είναι σε αυτό συνεχής και από αριστερά και από δεξιά. Η συνάρτηση, όπως και στα όρια, μπορεί να είναι σε ένα σημείο συνεχής μόνο από αριστερά ή μόνο από δεξιά. Αν το όριο από αριστερά και το όριο από δεξιά διαφέρουν, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

Τι μας λέει ο ορισμός; Πρώτα απ' όλα, η συνάρτηση πρέπει να είναι ορισμένη στο δεδομένο σημείο. Αν η συνάρτηση δεν είναι ορισμένη στο σημείο, σίγουρα δεν είναι και συνεχής σε αυτό. Αν είναι ορισμένη, κοιτάμε τα όρια. Αν η συνάρτηση τόσο από δεξιά όσο και από αριστερά πλησιάζει την τιμή της στο δεδομένο σημείο, τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Αν τα όρια είναι διαφορετικά από την τιμή της συνάρτησης, τότε η συνάρτηση είναι στο σημείο αυτό ασυνεχής.

Ένα απλό παράδειγμα: στο άρθρο όριο συνάρτησης είδαμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{x}{3}$, μια απλή γραμμική συνάρτηση. Για οποιοδήποτε σημείο a ∈ ℝ ισχύει ότι

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Η συνάρτηση f είναι έτσι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. Για παράδειγμα, αν στο a βάλουμε τον αριθμό 6, θα είχαμε:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Σημεία ασυνέχειας

Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο a, αυτό σημαίνει ότι είναι σε αυτό ασυνεχής. Δεν είναι κάτι ιδιαίτερα εκπληκτικό. Ωστόσο ξεχωρίζουμε διάφορα είδη σημείων ασυνέχειας, ανάλογα με το πόσο θα έπρεπε να «διορθώσουμε τη γραφική παράσταση», ώστε η συνάρτηση να γίνει συνεχής.

Έχουμε τρία βασικά είδη ασυνέχειας:

Σημείο άρσιμης ασυνέχειας

Σημείο άρσιμης ασυνέχειας λέμε ένα σημείο για το οποίο υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όρια και αυτά είναι ίσα, δηλαδή η συνάρτηση έχει στο σημείο όριο, αλλά αυτό το όριο είναι διαφορετικό από την τιμή της συνάρτησης ή η συνάρτηση δεν είναι σε αυτό το σημείο ορισμένη. Αν το a είναι σημείο άρσιμης ασυνέχειας της συνάρτησης f(x), τότε ισχύει ότι:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ αλλά }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Ως παράδειγμα θα δούμε τη συνάρτηση απόλυτη τιμή του προσήμου του x. Θέλουμε να μάθουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο a = 0. Ακολουθεί η γραφική παράσταση:

Βλέπουμε ότι η συνάρτηση είναι σχεδόν παντού συνεχής, μόνο στο μηδέν υπάρχει κενό, επειδή εκεί η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν και όχι με ένα. Ωστόσο τα όρια από αριστερά και από δεξιά σε αυτό το σημείο είναι ίσα με ένα. Η ασυνέχεια αυτή ονομάζεται άρσιμη, επειδή αρκεί να ορίσουμε ξανά την τιμή σε αυτό το μοναδικό σημείο και παίρνουμε συνεχή συνάρτηση. Αυτό το σημείο ασυνέχειας αίρεται λοιπόν εύκολα.

Σημείο ασυνέχειας πρώτου είδους

Σημείο ασυνέχειας πρώτου είδους λέμε ένα σημείο a στο οποίο υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όρια, είναι μάλιστα πεπερασμένα, αλλά δεν είναι ίσα. Ορισμός:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Αυτό το σημείο ασυνέχειας θα το δούμε σε μια απλή συνάρτηση f(x) = sgn(x):

Βλέπουμε πάλι ότι στο σημείο a = 0 η συνάρτηση είναι ασυνεχής. Ισχύει μάλιστα ότι το όριο από αριστερά είναι ίσο με −1 και το όριο από δεξιά είναι ίσο με 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Τα όρια από αριστερά και από δεξιά δεν είναι ίσα, αλλά είναι πεπερασμένα. Πρόκειται λοιπόν για σημείο ασυνέχειας πρώτου είδους.

Για αυτό το σημείο ασυνέχειας ορίζουμε ακόμη την έννοια άλμα της συνάρτησης στο σημείο. Είναι η διαφορά αυτών των ορίων, οπότε άλμα s της συνάρτησης f στο σημείο a είναι η τιμή:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Σημείο ασυνέχειας δεύτερου είδους

Σημείο ασυνέχειας δεύτερου είδους λέμε ένα σημείο που έχει τουλάχιστον ένα άπειρο πλευρικό όριο ή στο οποίο δεν υπάρχει τουλάχιστον ένα από τα όρια. Ως παράδειγμα θα δούμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{1}{x}$. Το σημείο ασυνέχειας βρίσκεται στο μηδέν:

Το όριο από αριστερά στο μηδέν είναι μείον άπειρο και το όριο από δεξιά στο μηδέν είναι συν άπειρο. Και τα δύο όρια είναι άπειρα, οπότε πρόκειται για σημείο ασυνέχειας δεύτερου είδους. Αυτή η ασυνέχεια δεν μπορεί να αρθεί με κανέναν απλό τρόπο.

Συνέχεια σε διάστημα

Έχουμε ήδη ορίσει τη συνέχεια σε ένα σημείο, αλλά δεν έχουμε ορίσει τη συνέχεια σε ένα διάστημα. Λοιπόν: η συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα Δ, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος. Είναι σημαντικό να ξεχωρίζουμε προσεκτικά το ανοικτό από το κλειστό διάστημα. Αν έχουμε διάστημα ανοικτό και από τις δύο πλευρές, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι συνεχής στα άκρα – ήδη εξ ορισμού, επειδή το ανοικτό διάστημα δεν περιέχει τα άκρα του. Αν όμως έχουμε κλειστό διάστημα, η συνάρτηση πρέπει να είναι στα άκρα αυτά συνεχής από αριστερά ή από δεξιά.

Έχει περάσει καιρός από τότε που είχαμε κάπου τη συνάρτηση πρόσημο. Ας πάρουμε λοιπόν τη συνάρτηση πρόσημο. Στο ανοικτό διάστημα (0, +∞) η συνάρτηση είναι συνεχής. Η συνάρτηση πρόσημο έχει μεν σημείο ασυνέχειας στο μηδέν, αλλά επειδή το διάστημα είναι ανοικτό, το μηδέν εξαιρείται από τον έλεγχο. Στο διάστημα [0, +∞) η συνάρτηση δεν είναι πια συνεχής, επειδή δεν είναι συνεχής από δεξιά στο σημείο 0.

Και γιατί δεν είναι συνεχής από δεξιά; Επειδή το όριο από δεξιά είναι ίσο με ένα, αλλά η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν. Οι τιμές δεν είναι ίσες, οπότε η συνάρτηση δεν είναι στο δεδομένο σημείο συνεχής από δεξιά.

Μια συνάρτηση την ονομάζουμε τμηματικά συνεχή, αν περιέχει πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας πρώτου είδους (ή άρσιμης ασυνέχειας). Αν λοιπόν περιέχει άπειρα σημεία ασυνέχειας, δεν είναι τμηματικά συνεχής – πρόσεξέ το.

Τη συνέχεια μιας συνάρτησης στην πράξη τη διαπιστώνουμε με τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης. Μια συνάρτηση που είναι σε ένα σημείο παραγωγίσιμη είναι στο σημείο αυτό και συνεχής.