Kontinuitet

Kontinuitet forteller oss, som intuisjonen allerede antyder, om funksjonen er kontinuerlig i et gitt punkt eller om den på en eller annen måte er revet i stykker. Vi definerer og regner ut kontinuitet ved hjelp av grenseverdier til funksjoner, og hvis du ikke behersker dem, henger du ikke med.

Definisjon av kontinuitet

Kontinuitet er overraskende enkelt å definere og lett å forstå hvis du har forstått grenseverdier fullt ut. Her er definisjonen av kontinuitet:

Funksjonen f(x) kalles kontinuerlig i punktet a i definisjonsmengden til funksjonen f hvis

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Vi kan også definere kontinuitet fra venstre og fra høyre, ved å sette inn grenseverdien fra venstre eller høyre for grenseverdien. Legg merke til:

• Vi har så langt bare definert kontinuiteten til funksjonen f i et punkt. Hvis funksjonen f er kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden, kan vi si at f er en kontinuerlig funksjon på hele definisjonsmengden.
• Punktet a i definisjonen av kontinuitet må være et opphopningspunkt.
• For at funksjonen skal være kontinuerlig i punktet a, må f(a) finnes (verdien a må ligge i definisjonsmengden til funksjonen), grenseverdien $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ må finnes, og begge må være lik den samme verdien.
• En funksjon som er kontinuerlig i et punkt, er kontinuerlig i det både fra venstre og fra høyre. En funksjon kan, på samme måte som for grenseverdier, være kontinuerlig i et punkt bare fra venstre eller bare fra høyre. Hvis grenseverdien fra venstre og fra høyre er forskjellige, er ikke funksjonen kontinuerlig i dette punktet.

Hva sier definisjonen oss? For det første må funksjonen være definert i det gitte punktet. Hvis funksjonen ikke er definert i punktet, er den sikkert ikke kontinuerlig der heller. Hvis den er definert, ser vi på grenseverdiene. Hvis funksjonen både fra høyre og fra venstre nærmer seg funksjonsverdien i punktet, er den kontinuerlig i punktet. Hvis grenseverdiene er forskjellige fra funksjonsverdien, er funksjonen diskontinuerlig i punktet.

Et enkelt eksempel: I artikkelen om grenseverdi til en funksjon hadde vi funksjonen $f(x)=\frac{x}{3}$, som er en enkel lineær funksjon. For et hvilket som helst punkt a ∈ ℝ gjelder det at

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Funksjonen f er altså kontinuerlig på hele definisjonsmengden. Hvis vi for eksempel setter inn tallet 6 for a, får vi:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Diskontinuitetspunkter

Hvis en funksjon ikke er kontinuerlig i punktet a, betyr det at den er diskontinuerlig i dette punktet. Det er ingen stor overraskelse. Men vi skiller mellom flere typer diskontinuitetspunkter, avhengig av hvor mye vi måtte «justere grafen til funksjonen» for at funksjonen skulle bli kontinuerlig.

Vi har tre grunnleggende typer diskontinuitet:

Punkt med hevbar diskontinuitet

Et punkt med hevbar diskontinuitet er et punkt der begge de ensidige grenseverdiene finnes og er like, altså funksjonen har en grenseverdi i punktet, men denne grenseverdien er forskjellig fra funksjonsverdien, eller funksjonen er ikke definert i punktet. Hvis a er et punkt med hevbar diskontinuitet for funksjonen f(x), gjelder det at:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ men }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Som eksempel viser vi absoluttverdien av signum x. Vi vil vite om funksjonen er kontinuerlig i punktet a = 0. Grafen kommer her:

Vi ser at funksjonen er kontinuerlig nesten overalt, bare i punktet null er det et hull, for funksjonsverdien er her lik null og ikke én. Samtidig er grenseverdiene både fra venstre og fra høyre lik én i dette punktet. Denne diskontinuiteten kalles hevbar, fordi vi får en kontinuerlig funksjon ved å definere akkurat dette ene punktet på nytt. Dette diskontinuitetspunktet er altså lett å heve.

Punkt med diskontinuitet av første art

Et punkt a der begge de ensidige grenseverdiene finnes, i tillegg er endelige, men ikke er like, kaller vi et punkt med diskontinuitet av første art. Definisjon:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Vi viser dette diskontinuitetspunktet på den enkle funksjonen f(x) = sgn(x):

Igjen ser vi at funksjonen er diskontinuerlig i punktet a = 0. Samtidig er grenseverdien fra venstre lik −1 og grenseverdien fra høyre lik 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Grenseverdiene fra venstre og fra høyre er ikke like, men de er endelige. Dette er altså et punkt med diskontinuitet av første art.

For dette diskontinuitetspunktet definerer vi også begrepet sprang i funksjonen i et punkt. Det er differansen mellom disse grenseverdiene, så spranget s i funksjonen f i punktet a er verdien:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Punkt med diskontinuitet av andre art

Et punkt med diskontinuitet av andre art er et punkt som har minst én uendelig ensidig grenseverdi, eller der minst én grenseverdi ikke finnes. Som eksempel viser vi funksjonen $f(x)=\frac{1}{x}$. Diskontinuitetspunktet ligger i punktet null:

Grenseverdien fra venstre i punktet null er minus uendelig, og grenseverdien fra høyre i punktet null er pluss uendelig. Begge grenseverdiene er uendelige, så dette er et punkt med diskontinuitet av andre art. Denne diskontinuiteten kan ikke fjernes på noen enkel måte.

Kontinuitet på et intervall

Vi har nå definert kontinuitet i et punkt, men ikke kontinuitet på et intervall. Så her: en funksjon er kontinuerlig på et intervall I hvis den er kontinuerlig i hvert punkt i dette intervallet. Det er viktig å skille nøye mellom åpne og lukkede intervaller. Hvis vi har et intervall som er åpent på begge sider, trenger ikke funksjonen å være kontinuerlig i endepunktene, allerede fordi et åpent intervall ikke inneholder endepunktene sine. Hvis vi derimot har et lukket intervall, må funksjonen være kontinuerlig fra venstre eller fra høyre i disse endepunktene.

Det er lenge siden vi har hatt funksjonen signum. Så la oss ta funksjonen signum. På det åpne intervallet ⟨0, → ⟩ er funksjonen kontinuerlig. Funksjonen signum har riktignok et diskontinuitetspunkt i null, men siden intervallet er åpent, er null tatt ut av testen. På intervallet [0, → ⟩ er funksjonen ikke lenger kontinuerlig, fordi den ikke er kontinuerlig fra høyre i punktet 0.

Og hvorfor er den ikke kontinuerlig fra høyre? Fordi grenseverdien fra høyre er lik én, men funksjonsverdien er lik null. Verdiene er ikke like, så funksjonen er ikke kontinuerlig fra høyre i dette punktet.

En funksjon kaller vi stykkevis kontinuerlig hvis den inneholder et endelig antall punkter med diskontinuitet av første art (eller hevbar diskontinuitet). Hvis den altså inneholder uendelig mange diskontinuitetspunkter, er den ikke stykkevis kontinuerlig, så vær oppmerksom på det.

I praksis finner vi ut om en funksjon er kontinuerlig ved hjelp av den deriverte av funksjonen. En funksjon som er deriverbar i et punkt, er også kontinuerlig i dette punktet.