Continuità di una funzione

La continuità di una funzione ci dice, come suggerisce già l’intuizione, se la funzione in un dato punto è continua oppure se è in qualche modo «strappata». La continuità si definisce e si calcola con i limiti di funzioni: se non li padroneggi, farai fatica a seguire.

Definizione di continuità di una funzione

La continuità si definisce stranamente in modo piuttosto semplice e si capisce facilmente, se hai compreso bene i limiti. Ecco dunque la definizione di continuità di una funzione:

La funzione f(x) si dice continua nel punto a del dominio della funzione f se vale:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Possiamo definire anche la continuità da sinistra e da destra, se al posto del limite scriviamo il limite sinistro o destro. Osserva:

• Finora abbiamo definito soltanto la continuità di una funzione f in un punto. Se la funzione f è continua in tutti i punti del suo dominio, possiamo dire che f è una funzione continua in tutto il dominio.
• Il punto a nella definizione di continuità deve essere un punto di accumulazione.
• Perché la funzione sia continua nel punto a, deve esistere f(a) (il valore a deve appartenere al dominio della funzione), deve esistere il limite $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ ed entrambi devono essere uguali.
• Una funzione continua in un punto è continua in esso sia da sinistra sia da destra. Una funzione, come avveniva per i limiti, può essere continua in un punto soltanto da sinistra o soltanto da destra. Se il limite sinistro e il limite destro sono diversi, la funzione non è continua in quel punto.

Che cosa ci dice la definizione? Per prima cosa, la funzione deve essere definita nel punto dato. Se la funzione non è definita in quel punto, di sicuro non è continua in esso. Se è definita, guardiamo i limiti. Se la funzione, sia da destra sia da sinistra, si avvicina al valore della funzione nel punto dato, allora è continua in quel punto. Se i limiti sono diversi dal valore della funzione, la funzione in quel punto è discontinua.

Un esempio semplice: nell’articolo sul limite di una funzione avevamo la funzione $f(x)=\frac{x}{3}$, una semplice funzione lineare. Per qualsiasi punto a ∈ ℝ vale che

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

La funzione f è quindi continua in tutto il suo dominio. Per esempio, se al posto di a sostituissimo il numero 6, avremmo:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Punti di discontinuità

Se una funzione non è continua nel punto a, significa che in quel punto è discontinua. Non è una grande sorpresa. Distinguiamo però diversi tipi di punti di discontinuità, a seconda di quanto dovremmo «modificare il grafico della funzione» perché la funzione diventi continua.

Abbiamo tre tipi fondamentali di discontinuità:

Punto di discontinuità eliminabile

Chiamiamo punto di discontinuità eliminabile (o di terza specie) un punto per cui esistono entrambi i limiti unilaterali e sono uguali, cioè la funzione ha in quel punto un limite, ma questo limite è diverso dal valore della funzione oppure la funzione in quel punto non è definita. Se a è un punto di discontinuità eliminabile della funzione f(x), allora vale che:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ ma }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Come esempio prendiamo il valore assoluto della funzione segno di x. Vogliamo sapere se la funzione è continua nel punto a = 0. Ecco il grafico:

Vediamo che la funzione è quasi tutta continua, solo nel punto zero c’è un buco, perché qui il valore della funzione è uguale a zero e non a uno. I limiti sinistro e destro in questo punto, invece, sono entrambi uguali a uno. Questa discontinuità si chiama eliminabile perché ridefinendo semplicemente quell’unico punto otteniamo una funzione continua. Questo punto di discontinuità è quindi facile da eliminare.

Punto di discontinuità di prima specie

Chiamiamo punto di discontinuità di prima specie un punto a in cui esistono entrambi i limiti unilaterali, sono inoltre finiti, ma non sono uguali. Definizione:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Mostriamo questo punto di discontinuità su una funzione semplice, f(x) = sgn(x):

Di nuovo vediamo che nel punto a = 0 la funzione è discontinua. Vale che il limite sinistro è uguale a −1 e il limite destro è uguale a 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

I limiti sinistro e destro non sono uguali, ma sono finiti. Si tratta quindi di un punto di discontinuità di prima specie.

Per questo punto di discontinuità definiamo anche il concetto di salto della funzione nel punto. È la differenza di questi limiti, quindi il salto s della funzione f nel punto a è il valore:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Punto di discontinuità di seconda specie

Chiamiamo punto di discontinuità di seconda specie un punto che ha almeno un limite unilaterale infinito oppure in cui almeno uno dei limiti non esiste. Come esempio mostriamo la funzione $f(x)=\frac{1}{x}$. Il punto di discontinuità si trova in zero:

Il limite sinistro nel punto zero è meno infinito e il limite destro nel punto zero è più infinito. Entrambi i limiti sono infiniti, quindi si tratta di un punto di discontinuità di seconda specie. Questa discontinuità non si può eliminare in nessun modo semplice.

Continuità su un intervallo

Abbiamo già definito la continuità in un punto, ma non abbiamo ancora definito la continuità su un intervallo. Eccola: una funzione è continua su un intervallo I se è continua in ogni punto di questo intervallo. È importante distinguere con attenzione l’intervallo aperto da quello chiuso. Se abbiamo un intervallo aperto da entrambi i lati, non è necessario che la funzione sia continua negli estremi, già per il fatto che un intervallo aperto non contiene i suoi estremi. Se invece abbiamo un intervallo chiuso, la funzione in questi estremi deve essere continua da sinistra o da destra.

È da un po’ che non incontriamo la funzione segno. Eccola di nuovo. Sull’intervallo aperto (0; +∞) la funzione è continua. La funzione segno ha sì un punto di discontinuità in zero, ma poiché l’intervallo è aperto, lo zero viene escluso dalla verifica. Sull’intervallo [0; +∞) la funzione invece non è più continua, perché non è continua da destra nel punto 0.

E perché non è continua da destra? Perché il limite destro è uguale a uno, ma il valore della funzione è uguale a zero. I valori non coincidono, quindi la funzione non è continua da destra nel punto dato.

Una funzione si dice continua a tratti se contiene un numero finito di punti di discontinuità di prima specie (o una discontinuità eliminabile). Se quindi contiene infiniti punti di discontinuità, non è continua a tratti: attenzione a questo.

In pratica la continuità di una funzione si verifica con la derivata della funzione. Una funzione derivabile in un punto è continua anche in quel punto.