Funktion jatkuvuus

Kuten intuitio jo antaa ymmärtää, funktion jatkuvuus kertoo, onko funktio annetussa pisteessä jatkuva vai onko se jotenkin revennyt. Jatkuvuus määritellään ja sitä tutkitaan funktioiden raja-arvojen avulla; jos ne eivät ole hallussa, et pysy mukana.

Funktion jatkuvuuden määritelmä

Jatkuvuus on yllättävän helppo määritellä ja helppo ymmärtää, jos raja-arvot on täysin sisäistetty. Tässä siis funktion jatkuvuuden määritelmä:

Funktiota f(x) sanotaan jatkuvaksi pisteessä a, joka kuuluu funktion f määrittelyjoukkoon, jos pätee:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Voidaan vielä määritellä jatkuvuus vasemmalta ja oikealta, kun raja-arvon tilalle sijoitetaan vasemmanpuoleinen tai oikeanpuoleinen raja-arvo. Huomaa:

• Toistaiseksi on määritelty vain funktion f jatkuvuus pisteessä. Jos funktio f on jatkuva kaikissa määrittelyjoukkonsa pisteissä, funktiosta f voidaan sanoa, että se on jatkuva funktio koko määrittelyjoukossaan.
• Jatkuvuuden määritelmässä pisteen a on oltava kasautumispiste.
• Jotta funktio olisi pisteessä a jatkuva, arvon f(a) on oltava olemassa (arvon a on kuuluttava funktion määrittelyjoukkoon), raja-arvon $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ on oltava olemassa ja niiden on oltava yhtä suuret.
• Pisteessä jatkuva funktio on siinä jatkuva sekä vasemmalta että oikealta. Kuten raja-arvojenkin kohdalla, funktio voi olla pisteessä jatkuva vain vasemmalta tai vain oikealta. Jos vasemmanpuoleinen ja oikeanpuoleinen raja-arvo ovat eri suuret, funktio ei ole tässä pisteessä jatkuva.

Mitä määritelmä kertoo? Ensinnäkin funktion on oltava määritelty annetussa pisteessä. Jos funktiota ei ole määritelty annetussa pisteessä, se ei varmasti ole siinä jatkuvakaan. Jos se on määritelty, tarkastellaan raja-arvoja. Jos funktion arvo lähestyy sekä oikealta että vasemmalta funktion arvoa annetussa pisteessä, funktio on annetussa pisteessä jatkuva. Jos raja-arvot poikkeavat funktion arvosta, funktio on annetussa pisteessä epäjatkuva.

Yksinkertainen esimerkki: artikkelissa funktion raja-arvo esitettiin funktio $f(x)=\frac{x}{3}$, joka on yksinkertainen lineaarinen funktio. Jokaiselle pisteelle a ∈ ℝ pätee, että

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Funktio f on siis jatkuva koko määrittelyjoukossaan. Jos esimerkiksi sijoitettaisiin a:n paikalle luku 6, saataisiin:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Epäjatkuvuuskohdat

Jos funktio ei ole pisteessä a jatkuva, se on tässä pisteessä epäjatkuva. Se ei ole suuri yllätys. Epäjatkuvuuskohdat jaetaan kuitenkin useaan lajiin sen mukaan, kuinka paljon ”kuvaajaa pitäisi muokata”, jotta funktiosta tulisi jatkuva.

Epäjatkuvuuksia on kolme perustyyppiä:

Poistuva epäjatkuvuuskohta

Poistuvaksi epäjatkuvuuskohdaksi kutsutaan pistettä, jossa molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtä suuret, eli funktiolla on tässä pisteessä raja-arvo, mutta tämä raja-arvo poikkeaa funktion arvosta tai funktiota ei ole tässä pisteessä määritelty. Jos a on funktion f(x) poistuva epäjatkuvuuskohta, niin pätee:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ mutta }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Esimerkkinä esitetään funktio, joka on funktion signum x itseisarvo. Halutaan tietää, onko funktio jatkuva pisteessä a = 0. Kuvaaja:

Nähdään, että funktio on lähes kokonaan jatkuva, vain pisteessä nolla on aukko, koska funktion arvo on siinä nolla eikä yksi. Raja-arvot sekä vasemmalta että oikealta ovat kuitenkin tässä pisteessä yksi. Tätä epäjatkuvuutta kutsutaan poistuvaksi, koska funktiosta saadaan jatkuva määrittelemällä tämä yksi piste yksinkertaisesti uudelleen. Tämä epäjatkuvuuskohta on siis helppo poistaa.

Ensimmäisen lajin epäjatkuvuuskohta

Ensimmäisen lajin epäjatkuvuuskohdaksi kutsutaan pistettä a, jossa molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa, ne ovat lisäksi äärellisiä, mutta eivät ole yhtä suuret. Määritelmä:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Tämä epäjatkuvuuskohta esitetään yksinkertaisella funktiolla f(x) = sgn(x):

Jälleen nähdään, että pisteessä a = 0 funktio on epäjatkuva. Samalla pätee, että vasemmanpuoleinen raja-arvo on −1 ja oikeanpuoleinen raja-arvo on 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot eivät ole yhtä suuret, mutta ne ovat äärellisiä. Kyseessä on siis ensimmäisen lajin epäjatkuvuuskohta.

Tälle epäjatkuvuuskohdalle määritellään vielä käsite funktion hyppäys pisteessä. Se on näiden raja-arvojen erotus, joten funktion f hyppäys s pisteessä a on arvo:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Toisen lajin epäjatkuvuuskohta

Toisen lajin epäjatkuvuuskohdaksi kutsutaan pistettä, jossa ainakin yksi toispuoleinen raja-arvo on ääretön tai jossa ainakin yksi raja-arvo ei ole olemassa. Esimerkiksi esitetään funktio $f(x)=\frac{1}{x}$. Epäjatkuvuuskohta on pisteessä nolla:

Vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä nolla on miinus ääretön ja oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä nolla on plus ääretön. Molemmat raja-arvot ovat äärettömiä, joten kyseessä on toisen lajin epäjatkuvuuskohta. Tätä epäjatkuvuutta ei voi poistaa millään yksinkertaisella tavalla.

Jatkuvuus välillä

Jatkuvuus pisteessä on jo määritelty, mutta jatkuvuutta jollakin välillä ei ole vielä määritelty. Funktio on siis jatkuva välillä I, jos se on jatkuva jokaisessa tämän välin pisteessä. On tärkeää erottaa huolellisesti avoin ja suljettu väli. Jos väli on molemmilta puolilta avoin, funktion ei tarvitse olla jatkuva päätepisteissä – jo siitä periaatteesta, että avoin väli ei sisällä päätepisteitään. Jos taas väli on suljettu, funktion on oltava päätepisteissä jatkuva vasemmalta tai oikealta.

Funktiota signum ei ole pitkään aikaan ollut missään esillä. Olkoon siis funktio signum. Avoimella välillä ]0, ∞[ funktio on jatkuva. Funktiolla signum on kyllä epäjatkuvuuskohta nollassa, mutta välin avoimuuden ansiosta nolla on jätetty tarkastelun ulkopuolelle. Välillä [0, ∞[ funktio ei enää ole jatkuva, koska se ei ole oikealta jatkuva pisteessä 0.

Ja miksi se ei ole oikealta jatkuva? Koska oikeanpuoleinen raja-arvo on yksi, mutta funktion arvo on nolla. Arvot eivät ole yhtä suuret, joten funktio ei ole annetussa pisteessä oikealta jatkuva.

Funktiota kutsutaan paloittain jatkuvaksi, jos sillä on äärellinen määrä ensimmäisen lajin epäjatkuvuuskohtia (tai poistuva epäjatkuvuus). Jos epäjatkuvuuskohtia on äärettömän monta, funktio ei ole paloittain jatkuva, tähän kannattaa kiinnittää huomiota.

Funktion jatkuvuus selvitetään käytännössä funktion derivaatan avulla. Funktio, joka on pisteessä derivoituva, on myös tässä pisteessä jatkuva.