Fonksiyonun Sürekliliği

Sezgimizin de söylediği gibi, fonksiyonun sürekliliği bize fonksiyonun verilen noktada sürekli mi yoksa bir yerinden kopuk mu olduğunu söyler. Sürekliliği fonksiyonların limitleri yardımıyla tanımlar ve hesaplarız; limitleri bilmiyorsan konuyu anlamakta zorlanırsın.

Fonksiyonun Sürekliliğinin Tanımı

Süreklilik şaşırtıcı derecede kolay tanımlanır ve limitleri tam olarak anladıysan kolayca kavranır. İşte fonksiyonun sürekliliğinin tanımı:

Şu eşitlik sağlanıyorsa f(x) fonksiyonuna, f fonksiyonunun tanım kümesindeki bir a noktasında sürekli denir:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Limit yerine soldan ya da sağdan limit koyarak soldan ve sağdan sürekliliği de tanımlayabiliriz. Şunlara dikkat et:

• Şimdiye kadar yalnızca f fonksiyonunun bir noktadaki sürekliliğini tanımladık. f fonksiyonu tanım kümesinin tüm noktalarında sürekliyse, f için tüm tanım kümesinde sürekli fonksiyon deriz.
• Sürekliliğin tanımındaki a noktası bir yığılma noktası olmalıdır.
• Bir fonksiyonun a noktasında sürekli olması için f(a) var olmalı (a değeri fonksiyonun tanım kümesinde olmalı), $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ limiti var olmalı ve ikisi aynı değere eşit olmalıdır.
• Bir noktada sürekli olan fonksiyon o noktada hem soldan hem sağdan süreklidir. Limitlerde olduğu gibi, fonksiyon bir noktada yalnızca soldan ya da yalnızca sağdan sürekli olabilir. Soldan ve sağdan limit farklıysa fonksiyon o noktada sürekli değildir.

Tanım bize ne söylüyor? Birincisi, fonksiyon verilen noktada tanımlı olmalıdır. Fonksiyon o noktada tanımlı değilse orada kesinlikle sürekli de değildir. Tanımlıysa limitlere bakarız. Fonksiyon hem sağdan hem soldan o noktadaki fonksiyon değerine yaklaşıyorsa fonksiyon o noktada süreklidir. Limitler fonksiyon değerinden farklıysa fonksiyon o noktada süreksizdir.

Basit bir örnek: fonksiyonun limiti yazısında basit bir doğrusal fonksiyon olan $f(x)=\frac{x}{3}$ fonksiyonunu göstermiştik. Her a ∈ ℝ noktası için

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

eşitliği geçerlidir. Yani f fonksiyonu tüm tanım kümesinde süreklidir. Örneğin a yerine 6 sayısını koyarsak şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Süreksizlik Noktaları

Bir fonksiyon a noktasında sürekli değilse, o noktada süreksizdir. Bu büyük bir sürpriz değil. Yine de fonksiyonu sürekli yapmak için “grafiği ne kadar düzeltmemiz” gerektiğine bağlı olarak birkaç tür süreksizlik noktası ayırt ederiz.

Üç temel süreksizlik türü var:

Kaldırılabilir Süreksizlik Noktası

İki tek taraflı limiti de var olan, bu limitleri birbirine eşit olan, yani fonksiyonun o noktada limiti bulunan, ama bu limit fonksiyon değerinden farklı olan ya da fonksiyonun o noktada tanımlı olmadığı noktaya kaldırılabilir süreksizlik noktası deriz. a, f(x) fonksiyonunun kaldırılabilir süreksizlik noktasıysa şu geçerlidir:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ ama }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Örnek olarak x’in işaret fonksiyonunun mutlak değerini göstereceğiz. Fonksiyonun a = 0 noktasında sürekli olup olmadığını bilmek istiyoruz. Grafik aşağıda:

Fonksiyonun neredeyse her yerde sürekli olduğunu, yalnızca sıfır noktasında bir boşluk bulunduğunu görüyoruz; çünkü fonksiyon değeri orada bir değil, sıfırdır. Oysa soldan ve sağdan limitlerin ikisi de bu noktada bire eşittir. Bu süreksizliğe kaldırılabilir denir; çünkü yalnızca o tek noktayı yeniden tanımlayarak sürekli bir fonksiyon elde ederiz. Yani bu süreksizlik noktası kolayca kaldırılabilir.

Birinci Tür Süreksizlik Noktası

İki tek taraflı limiti de var olan, bu limitler üstelik sonlu olan ama birbirine eşit olmayan a noktasına birinci tür süreksizlik noktası deriz. Tanım:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Bu süreksizlik noktasını basit bir f(x) = sgn(x) fonksiyonuyla gösterelim:

Yine a = 0 noktasında fonksiyonun süreksiz olduğunu görüyoruz. Soldan limit −1, sağdan limit 1’e eşittir:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Soldan ve sağdan limitler eşit değildir ama sonludur. Dolayısıyla bu bir birinci tür süreksizlik noktasıdır.

Bu süreksizlik noktası için bir de fonksiyonun bir noktadaki sıçraması kavramını tanımlarız. Bu, söz konusu limitlerin farkıdır; yani f fonksiyonunun a noktasındaki sıçraması s şu değerdir:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

İkinci Tür Süreksizlik Noktası

En az bir tek taraflı limiti sonsuz olan ya da en az bir limiti var olmayan noktaya ikinci tür süreksizlik noktası deriz. Örnek olarak $f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunu gösterelim. Süreksizlik noktası sıfır noktasındadır:

Sıfır noktasında soldan limit eksi sonsuz, sağdan limit artı sonsuzdur. İki limit de sonsuz olduğundan bu bir ikinci tür süreksizlik noktasıdır. Bu süreksizlik hiçbir basit yolla kaldırılamaz.

Aralıkta Süreklilik

Bir noktadaki sürekliliği tanımladık, ama bir aralıktaki sürekliliği henüz tanımlamadık. Şöyle: fonksiyon, bir I aralığının her noktasında sürekliyse bu aralıkta süreklidir. Açık ve kapalı aralığı dikkatle ayırt etmek önemlidir. İki tarafı açık bir aralıkta fonksiyonun uç noktalarda sürekli olması gerekmez — açık aralık uç noktalarını içermediği için. Ama kapalı aralıkta fonksiyon bu uç noktalarda soldan ya da sağdan sürekli olmalıdır.

İşaret fonksiyonunu uzun zamandır görmedik. Hadi yine işaret fonksiyonunu ele alalım. (0, ∞) açık aralığında fonksiyon süreklidir. İşaret fonksiyonunun sıfırda bir süreksizlik noktası vardır, ama aralık açık olduğu için sıfır incelemenin dışında kalır. [0, ∞) aralığında ise fonksiyon artık sürekli değildir; çünkü 0 noktasında sağdan sürekli değildir.

Peki neden sağdan sürekli değil? Çünkü sağdan limit birdir ama fonksiyon değeri sıfırdır. Değerler eşit olmadığı için fonksiyon verilen noktada sağdan sürekli değildir.

Sonlu sayıda birinci tür süreksizlik noktası (ya da kaldırılabilir süreksizlik) içeren fonksiyona parçalı sürekli fonksiyon deriz. Yani sonsuz sayıda süreksizlik noktası varsa fonksiyon parçalı sürekli değildir; buna dikkat et.

Pratikte fonksiyonun sürekliliğini fonksiyonun türeviyle araştırırız. Bir noktada türevlenebilir olan fonksiyon, o noktada aynı zamanda süreklidir.