Kontinuitet af en funktion

Kontinuitet af en funktion fortæller os, som intuitionen allerede antyder, om funktionen er kontinuert i et givet punkt, eller om den på en eller anden måde er revet over. Kontinuitet definerer og beregner vi ved hjælp af grænseværdier af funktioner, og hvis du ikke har styr på dem, hænger du ikke med.

Definition af kontinuitet af en funktion

Kontinuitet er overraskende nok ret nemt at definere og let at forstå, hvis du har forstået grænseværdier til fulde. Så her er definitionen af kontinuitet af en funktion:

Funktionen f(x) kaldes kontinuert i punktet a i definitionsmængden for funktionen f, hvis der gælder:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Vi kan yderligere definere kontinuitet fra venstre og fra højre, hvis vi indsætter grænseværdien fra venstre eller fra højre. Bemærk:

• Indtil videre har vi kun defineret kontinuitet af funktionen f i et punkt. Hvis funktionen f er kontinuert i alle punkter i sin definitionsmængde, kan vi om funktionen f sige, at den er en kontinuert funktion på hele definitionsmængden.
• Punktet a i definitionen af kontinuitet skal være et ophobningspunkt.
• For at funktionen er kontinuert i punktet a, skal f(a) findes (værdien a skal ligge i funktionens definitionsmængde), grænseværdien $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ skal findes, og begge skal være lig med den samme værdi.
• En funktion, der er kontinuert i et punkt, er i dette punkt kontinuert både fra venstre og fra højre. En funktion kan, ligesom det var tilfældet med grænseværdier, være kontinuert i et punkt kun fra venstre eller kun fra højre. Hvis grænseværdien fra venstre og fra højre er forskellig, er funktionen ikke kontinuert i dette punkt.

Hvad fortæller definitionen os? For det første skal funktionen være defineret i det givne punkt. Hvis funktionen ikke er defineret i det givne punkt, er den helt sikkert heller ikke kontinuert i dette punkt. Hvis den er defineret, kigger vi på grænseværdierne. Hvis funktionen både fra højre og fra venstre nærmer sig funktionsværdien i det givne punkt, så er funktionen kontinuert i det givne punkt. Hvis grænseværdierne er forskellige fra funktionsværdien, er funktionen diskontinuert i det givne punkt.

Et simpelt eksempel: I artiklen om grænseværdi af en funktion viste vi funktionen $f(x)=\frac{x}{3}$, som er en simpel lineær funktion. For ethvert punkt a ∈ ℝ gælder, at

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Funktionen f er altså kontinuert på hele sin definitionsmængde. Hvis vi for eksempel indsatte tallet 6 for a, ville vi have:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Diskontinuitetspunkter

Hvis funktionen ikke er kontinuert i punktet a, betyder det, at den er diskontinuert i dette punkt. Det er ikke den store overraskelse. Ikke desto mindre skelner vi mellem flere slags diskontinuitetspunkter, afhængigt af hvor meget vi skulle »ændre funktionens graf«, for at funktionen blev kontinuert.

Vi har tre grundlæggende slags diskontinuitet:

Hævelig diskontinuitet

Et punkt med hævelig diskontinuitet kalder vi et punkt, for hvilket begge ensidede grænseværdier findes og er ens, altså har funktionen i det givne punkt en grænseværdi, men denne grænseværdi er forskellig fra funktionsværdien, eller funktionen er ikke defineret i dette punkt. Hvis a er et punkt med hævelig diskontinuitet for funktionen f(x), så gælder:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ men }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Som eksempel viser vi den numeriske værdi af signum x. Vi vil vide, om funktionen er kontinuert i punktet a = 0. Grafen følger:

Vi ser, at funktionen næsten overalt er kontinuert, kun i punktet nul er der et hul, fordi funktionsværdien her er lig med nul og ikke med en. Samtidig er grænseværdierne fra venstre og fra højre i dette punkt lig med en. Denne diskontinuitet kaldes hævelig, fordi vi ved en simpel omdefinering af netop det ene punkt får en kontinuert funktion. Dette diskontinuitetspunkt er altså let at fjerne.

Diskontinuitet af første art

Et diskontinuitetspunkt af første art kalder vi et punkt a, hvor begge ensidede grænseværdier findes, desuden er endelige, men ikke er ens. Definition:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Dette diskontinuitetspunkt viser vi på den simple funktion f(x) = sgn(x):

Igen ser vi, at funktionen er diskontinuert i punktet a = 0. Samtidig gælder, at grænseværdien fra venstre er lig med −1, og grænseværdien fra højre er lig med 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Grænseværdierne fra venstre og fra højre er ikke ens, men er endelige. Der er altså tale om et diskontinuitetspunkt af første art.

For dette diskontinuitetspunkt definerer vi desuden begrebet funktionens spring i et punkt. Det er forskellen mellem disse grænseværdier, så springet s af funktionen f i punktet a er værdien:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Diskontinuitet af anden art

Et diskontinuitetspunkt af anden art kalder vi et punkt, der har mindst én uendelig ensidet grænseværdi, eller hvor mindst én grænseværdi ikke findes. Som eksempel viser vi funktionen $f(x)=\frac{1}{x}$. Diskontinuitetspunktet ligger i punktet nul:

Grænseværdien fra venstre i punktet nul er minus uendelig, og grænseværdien fra højre i punktet nul er plus uendelig. Begge grænseværdier er uendelige, så der er tale om et diskontinuitetspunkt af anden art. Denne diskontinuitet kan ikke fjernes på nogen simpel måde.

Kontinuitet på et interval

Vi har allerede defineret kontinuitet i et punkt, men vi har ikke defineret kontinuitet på et interval. Så: en funktion er kontinuert på intervallet I, hvis den er kontinuert i ethvert punkt i dette interval. Det er vigtigt omhyggeligt at skelne mellem åbent og lukket interval. Hvis vi har et interval, der er åbent i begge ender, behøver funktionen ikke at være kontinuert i endepunkterne — allerede ud fra princippet om, at et åbent interval ikke indeholder sine endepunkter. Men hvis vi har et lukket interval, skal funktionen i disse endepunkter være kontinuert fra venstre eller fra højre.

Vi har ikke haft signumfunktionen i lang tid. Så lad os tage signumfunktionen. På det åbne interval ]0; ∞[ er funktionen kontinuert. Signumfunktionen har ganske vist et diskontinuitetspunkt i nul, men takket være intervallets åbenhed er nul udtaget af testen. På intervallet [0; ∞[ er funktionen ikke længere kontinuert, fordi den ikke er kontinuert fra højre i punktet 0.

Og hvorfor er den ikke kontinuert fra højre? Fordi grænseværdien fra højre er lig med en, men funktionsværdien er lig med nul. Værdierne er ikke ens, så funktionen er ikke kontinuert fra højre i det givne punkt.

En funktion kalder vi stykkevis kontinuert, hvis den indeholder et endeligt antal diskontinuitetspunkter af første art (eller hævelig diskontinuitet). Hvis den altså indeholder uendeligt mange diskontinuitetspunkter, er den ikke stykkevis kontinuert — det skal du være opmærksom på.

Kontinuitet af en funktion undersøger vi i praksis ved hjælp af funktionens differentialkvotient. En funktion, der er differentiabel i et punkt, er også kontinuert i det givne punkt.