Kontinuitet hos en funktion

Kontinuitet hos en funktion säger oss, som intuitionen redan antyder, om funktionen är kontinuerlig i en given punkt eller om den på något sätt är avbruten. Kontinuitet definierar och beräknar vi med hjälp av gränsvärden av funktioner. Behärskar du dem inte hänger du inte med.

Definition av kontinuitet

Kontinuitet är förvånansvärt enkel att definiera och lätt att förstå, om du verkligen har förstått gränsvärden. Så här lyder definitionen:

Funktionen f(x) kallas kontinuerlig i punkten a i definitionsmängden för funktionen f om det gäller att:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Vi kan också definiera kontinuitet från vänster och från höger, om vi ersätter gränsvärdet med vänster- eller högergränsvärdet. Notera:

• Hittills har vi bara definierat kontinuitet hos funktionen f i en punkt. Om funktionen f är kontinuerlig i alla punkter i sin definitionsmängd kan vi säga att f är en kontinuerlig funktion på hela definitionsmängden.
• Punkten a i definitionen av kontinuitet måste vara en hopningspunkt.
• För att funktionen ska vara kontinuerlig i punkten a måste f(a) existera (värdet a måste ligga i funktionens definitionsmängd), gränsvärdet $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ måste existera, och båda måste vara lika med samma värde.
• En funktion som är kontinuerlig i en punkt är kontinuerlig där både från vänster och från höger. Precis som för gränsvärden kan en funktion i en punkt vara kontinuerlig bara från vänster eller bara från höger. Om vänster- och högergränsvärdet skiljer sig åt är funktionen inte kontinuerlig i punkten.

Vad säger definitionen oss? För det första måste funktionen vara definierad i den givna punkten. Om funktionen inte är definierad i punkten kan den inte heller vara kontinuerlig där. Om den är definierad tittar vi på gränsvärdena. Om funktionen närmar sig funktionsvärdet i punkten både från höger och från vänster är funktionen kontinuerlig i punkten. Om gränsvärdena skiljer sig från funktionsvärdet är funktionen diskontinuerlig i punkten.

Ett enkelt exempel: i artikeln om gränsvärden av funktioner hade vi funktionen $f(x)=\frac{x}{3}$, en enkel linjär funktion. För varje punkt a ∈ ℝ gäller att

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Funktionen f är alltså kontinuerlig på hela sin definitionsmängd. Om vi till exempel sätter in talet 6 i stället för a får vi:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Diskontinuitetspunkter

Om en funktion inte är kontinuerlig i punkten a betyder det att den är diskontinuerlig där. Det är ingen stor överraskning. Vi skiljer ändå mellan flera sorters diskontinuitetspunkter, beroende på hur mycket vi skulle behöva ”ändra grafen” för att funktionen skulle bli kontinuerlig.

Vi har tre grundläggande sorters diskontinuitet:

Hävbar diskontinuitet

En punkt med hävbar diskontinuitet är en punkt där båda de ensidiga gränsvärdena existerar och är lika, dvs. funktionen har ett gränsvärde i punkten, men detta gränsvärde skiljer sig från funktionsvärdet, eller så är funktionen inte definierad i punkten. Om a är en punkt med hävbar diskontinuitet hos funktionen f(x) gäller att:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ men }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Som exempel tar vi absolutbeloppet av signum x. Vi vill veta om funktionen är kontinuerlig i punkten a = 0. Grafen ser ut så här:

Vi ser att funktionen är kontinuerlig nästan överallt. Bara i nollan finns ett hål, eftersom funktionsvärdet där är noll och inte ett. Vänster- och högergränsvärdet i punkten är däremot båda lika med ett. Den här diskontinuiteten kallas hävbar eftersom vi får en kontinuerlig funktion genom att helt enkelt definiera om just den punkten. Diskontinuiteten är alltså lätt att häva.

Diskontinuitet av första slaget

En punkt a där båda de ensidiga gränsvärdena existerar och dessutom är ändliga, men inte är lika, kallas en diskontinuitet av första slaget. Definition:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Vi visar den här sortens diskontinuitet med den enkla funktionen f(x) = sgn(x):

Återigen ser vi att funktionen är diskontinuerlig i punkten a = 0. Vänstergränsvärdet är lika med −1 och högergränsvärdet är lika med 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Vänster- och högergränsvärdet är olika, men båda är ändliga. Det rör sig alltså om en diskontinuitet av första slaget.

För den här sortens diskontinuitet definierar vi dessutom begreppet språng hos en funktion i en punkt. Det är skillnaden mellan de här gränsvärdena, så språnget s hos funktionen f i punkten a är värdet:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Diskontinuitet av andra slaget

En punkt där minst ett av de ensidiga gränsvärdena är oändligt, eller där minst ett av gränsvärdena inte existerar, kallas en diskontinuitet av andra slaget. Som exempel tar vi funktionen $f(x)=\frac{1}{x}$. Diskontinuiteten ligger i punkten noll:

Vänstergränsvärdet i noll är minus oändligheten och högergränsvärdet i noll är plus oändligheten. Båda gränsvärdena är oändliga, så det är en diskontinuitet av andra slaget. Den här diskontinuiteten går inte att häva på något enkelt sätt.

Kontinuitet på ett intervall

Nu har vi definierat kontinuitet i en punkt, men inte kontinuitet på ett intervall. Så här: en funktion är kontinuerlig på ett intervall I om den är kontinuerlig i varje punkt i intervallet. Det är viktigt att noga skilja mellan öppna och slutna intervall. Om intervallet är öppet i båda ändar behöver funktionen inte vara kontinuerlig i ändpunkterna, helt enkelt eftersom ett öppet intervall inte innehåller sina ändpunkter. Om intervallet däremot är slutet måste funktionen vara kontinuerlig från vänster eller från höger i ändpunkterna.

Det var länge sedan vi hade signumfunktionen. Så låt oss ta signumfunktionen. På det öppna intervallet ]0, +∞[ är funktionen kontinuerlig. Signumfunktionen har visserligen en diskontinuitetspunkt i noll, men eftersom intervallet är öppet är nollan undantagen från prövningen. På intervallet [0, +∞[ är funktionen inte längre kontinuerlig, eftersom den inte är kontinuerlig från höger i punkten 0.

Och varför är den inte kontinuerlig från höger? Därför att högergränsvärdet är lika med ett, men funktionsvärdet är lika med noll. Värdena är inte lika, så funktionen är inte kontinuerlig från höger i punkten.

En funktion kallar vi styckvis kontinuerlig om den har ett ändligt antal diskontinuitetspunkter av första slaget (eller hävbar diskontinuitet). Om den har oändligt många diskontinuitetspunkter är den alltså inte styckvis kontinuerlig, så se upp med det.

Kontinuitet hos en funktion tar vi i praktiken reda på med hjälp av funktionens derivata. En funktion som är deriverbar i en punkt är också kontinuerlig i punkten.