Continuidade de uma função

A continuidade de uma função nos diz, como a intuição já sugere, se a função é contínua em um dado ponto ou se tem alguma interrupção. A continuidade é definida e calculada por meio dos limites de funções; se você não os domina, não vai conseguir acompanhar.

Definição de continuidade de uma função

A continuidade é, surpreendentemente, bem simples de definir e fácil de entender, se você compreendeu plenamente os limites. Então, a definição de continuidade de uma função:

A função f(x) se diz contínua no ponto a do domínio da função f se vale:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Podemos ainda definir a continuidade à esquerda e à direita, se no lugar do limite colocarmos o limite à esquerda ou à direita. Observe:

• Até agora definimos apenas a continuidade da função f em um ponto. Se a função f é contínua em todos os pontos de seu domínio, podemos dizer da função f que é uma função contínua em todo o seu domínio.
• O ponto a na definição de continuidade deve ser um ponto de acumulação.
• Para que a função seja contínua no ponto a, deve existir f(a) (o valor a deve pertencer ao domínio da função), deve existir o limite $\underset{x\to a}{lim}f(x)$, e os dois devem ser iguais ao mesmo valor.
• Uma função contínua em um ponto é contínua nele tanto à esquerda quanto à direita. A função, de modo semelhante ao que ocorria com os limites, pode ser contínua em um ponto apenas à esquerda ou apenas à direita. Se o limite à esquerda e o limite à direita diferem, a função não é contínua nesse ponto.

O que a definição nos diz? Em primeiro lugar, deve valer que a função está definida no ponto dado. Se a função não está definida no ponto dado, certamente não é contínua nesse ponto. Se está definida, olhamos para os limites. Se a função se aproxima, pela direita e pela esquerda, do valor da função no ponto dado, então a função é contínua no ponto dado. Se os limites são diferentes do valor da função, então a função é descontínua no ponto dado.

Um exemplo simples: no artigo sobre o limite de uma função mostramos a função $f(x)=\frac{x}{3}$, que é uma função linear simples (do tipo f(x) = ax). Para qualquer ponto a ∈ ℝ vale que

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

A função f é, assim, contínua em todo o seu domínio. Por exemplo, se substituíssemos a pelo número 6, teríamos:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Pontos de descontinuidade

Se a função não é contínua no ponto a, isso significa que ela é descontínua nesse ponto. Isso não é uma grande surpresa. No entanto, distinguimos vários tipos de pontos de descontinuidade, dependendo de quanto precisaríamos “modificar o gráfico da função” para que ela fosse contínua.

Temos três tipos básicos de descontinuidade:

Ponto de descontinuidade removível

Chamamos de ponto de descontinuidade removível um ponto para o qual existem os dois limites laterais e esses limites são iguais, isto é, a função tem limite no ponto dado, mas esse limite é diferente do valor da função, ou a função não está definida nesse ponto. Se a é um ponto de descontinuidade removível da função f(x), então vale que:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ mas }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Como exemplo, mostramos a função valor absoluto da função sinal de x. Queremos saber se a função é contínua no ponto a = 0. O gráfico vem a seguir:

Vemos que a função é contínua quase por inteiro; apenas no ponto zero há uma lacuna, porque o valor da função ali é igual a zero, e não a um. Ao mesmo tempo, os limites à esquerda e à direita nesse ponto são iguais a um. Essa descontinuidade se chama removível porque, redefinindo de modo simples esse único ponto, obtemos uma função contínua. Esse ponto de descontinuidade é, assim, facilmente removível.

Ponto de descontinuidade de primeira espécie

Chamamos de ponto de descontinuidade de primeira espécie um ponto a no qual existem os dois limites laterais, que, além disso, são finitos, mas não são iguais. Definição:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Mostramos esse ponto de descontinuidade na função simples f(x) = sgn(x):

Vemos novamente que, no ponto a = 0, a função é descontínua. Ao mesmo tempo, vale que o limite à esquerda é igual a −1 e o limite à direita é igual a 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Os limites à esquerda e à direita não são iguais, mas são finitos. Trata-se, assim, de um ponto de descontinuidade de primeira espécie.

Para esse ponto de descontinuidade definimos ainda o conceito de salto da função no ponto. Trata-se da diferença desses limites, de modo que o salto s da função f no ponto a é o valor:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Ponto de descontinuidade de segunda espécie

Chamamos de ponto de descontinuidade de segunda espécie um ponto que tem pelo menos um limite lateral infinito ou, então, em que pelo menos um dos limites não existe. Como exemplo, mostramos a função $f(x)=\frac{1}{x}$. O ponto de descontinuidade está no ponto zero:

O limite à esquerda no ponto zero é menos infinito e o limite à direita no ponto zero é mais infinito. Os dois limites são infinitos, de modo que se trata de um ponto de descontinuidade de segunda espécie. Essa descontinuidade não pode ser removida por nenhum meio simples.

Continuidade em um intervalo

Já temos definida a continuidade em um ponto, mas ainda não temos definida a continuidade em um intervalo. Então: a função é contínua no intervalo I se é contínua em cada ponto desse intervalo. É importante distinguir cuidadosamente o intervalo aberto e o fechado. Se temos um intervalo aberto nos dois lados, a função não precisa ser contínua nos pontos extremos — já pelo princípio de que o intervalo aberto não contém seus pontos extremos. Mas, se temos um intervalo fechado, a função deve ser contínua, à esquerda ou à direita, nesses pontos extremos.

Faz tempo que a função sinal não aparece por aqui. Então tomemos a função sinal. No intervalo aberto ]0, +∞[ a função é contínua. A função sinal tem, de fato, um ponto de descontinuidade em zero, mas, graças à abertura do intervalo, o zero fica excluído do teste. No intervalo [0, +∞[ a função já não é contínua, porque não é contínua à direita no ponto 0.

E por que não é contínua à direita? Porque o limite à direita é igual a um, mas o valor da função é igual a zero. Os valores não são iguais, então a função não é contínua à direita no ponto dado.

Chamamos a função de contínua por partes se ela contém um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (ou descontinuidade removível). Se, portanto, ela contém infinitos pontos de descontinuidade, não é contínua por partes; atenção a isso.

Na prática, verificamos a continuidade de uma função por meio da derivada da função. Uma função que é derivável em um ponto também é contínua no ponto dado.