Continuité d’une fonction

La continuité d’une fonction nous dit, comme l’intuition le laisse deviner, si la fonction est continue en un point donné ou si elle est « déchirée » quelque part. On définit et on calcule la continuité à l’aide des limites de fonctions ; si tu ne les maîtrises pas, tu auras du mal à suivre.

Définition de la continuité d’une fonction

La continuité se définit étonnamment simplement et se comprend facilement, si tu as bien compris les limites. Voici donc la définition de la continuité d’une fonction :

Une fonction f(x) est dite continue en un point a de l’ensemble de définition de f si :

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

On peut aussi définir la continuité à gauche et à droite, en remplaçant la limite par la limite à gauche ou à droite. Remarque :

• Nous n’avons défini pour l’instant que la continuité de la fonction f en un point. Si la fonction f est continue en tous les points de son ensemble de définition, on dit que f est une fonction continue sur tout son ensemble de définition.
• Le point a de la définition de la continuité doit être un point d’accumulation.
• Pour que la fonction soit continue en a, il faut que f(a) existe (la valeur a doit appartenir à l’ensemble de définition), que la limite $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ existe, et que les deux soient égales.
• Une fonction continue en un point y est continue à gauche et à droite. Comme pour les limites, une fonction peut être continue en un point seulement à gauche ou seulement à droite. Si la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, la fonction n’est pas continue en ce point.

Que nous dit la définition ? D’abord, la fonction doit être définie au point considéré. Si elle n’y est pas définie, elle n’y est sûrement pas continue. Si elle y est définie, on regarde les limites. Si la fonction se rapproche, à gauche comme à droite, de sa valeur en ce point, alors elle y est continue. Si les limites sont différentes de la valeur de la fonction, alors elle n’est pas continue en ce point.

Un exemple simple : dans l’article limite d’une fonction, nous avons vu la fonction $f(x)=\frac{x}{3}$, une simple fonction affine. Pour tout point a ∈ ℝ, on a

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

La fonction f est donc continue sur tout son ensemble de définition. Par exemple, si on remplace a par le nombre 6, on a :

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Points de discontinuité

Si une fonction n’est pas continue en un point a, cela veut dire qu’elle y est discontinue. Ce n’est pas une grande surprise. On distingue cependant plusieurs sortes de points de discontinuité, selon la quantité de « retouches de la courbe » nécessaires pour que la fonction devienne continue.

Il y a trois sortes principales de discontinuité :

Point de discontinuité éliminable

On appelle point de discontinuité éliminable un point pour lequel les deux limites à gauche et à droite existent et sont égales, c’est-à-dire que la fonction a une limite en ce point, mais cette limite est différente de la valeur de la fonction, ou bien la fonction n’y est pas définie. Si a est un point de discontinuité éliminable de la fonction f(x), alors :

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ mais }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Comme exemple, prenons la fonction valeur absolue du signe de x. On veut savoir si la fonction est continue en a = 0. Voici la courbe :

On voit que la fonction est presque entièrement continue ; seulement en zéro il y a un trou, car la valeur de la fonction y est égale à zéro et non à un. Pourtant, les limites à gauche et à droite en ce point sont égales à un. Cette discontinuité est dite éliminable, car en redéfinissant simplement ce seul point, on obtient une fonction continue. Ce point de discontinuité est donc facile à supprimer.

Point de discontinuité de première espèce

On appelle point de discontinuité de première espèce un point a où les deux limites à gauche et à droite existent, sont de plus finies, mais ne sont pas égales. Définition :

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Ce point de discontinuité s’illustre avec la fonction simple f(x) = sgn(x) :

On voit de nouveau qu’en a = 0 la fonction est discontinue. La limite à gauche est égale à −1 et la limite à droite à 1 :

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, mais elles sont finies. Il s’agit donc d’un point de discontinuité de première espèce.

Pour ce point de discontinuité, on définit aussi la notion de saut de la fonction en un point. C’est la différence de ces limites : le saut s de la fonction f au point a est donc la valeur :

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Point de discontinuité de seconde espèce

On appelle point de discontinuité de seconde espèce un point où au moins une des limites à gauche ou à droite est infinie, ou bien où au moins une de ces limites n’existe pas. Prenons comme exemple la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$. Le point de discontinuité se trouve en zéro :

La limite à gauche en zéro est moins l’infini et la limite à droite en zéro est plus l’infini. Les deux limites sont infinies, il s’agit donc d’un point de discontinuité de seconde espèce. Cette discontinuité ne peut être supprimée par aucun moyen simple.

Continuité sur un intervalle

Nous avons défini la continuité en un point, mais pas encore la continuité sur un intervalle. Voici : une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Il est important de bien distinguer l’intervalle ouvert de l’intervalle fermé. Si l’intervalle est ouvert aux deux bouts, la fonction n’a pas besoin d’être continue aux extrémités, ne serait-ce que parce qu’un intervalle ouvert ne contient pas ses extrémités. En revanche, si l’intervalle est fermé, la fonction doit être continue à gauche ou à droite en ces extrémités.

Il y a longtemps que nous n’avons pas vu la fonction signe. Reprenons-la donc. Sur l’intervalle ouvert ]0 ; +∞[, la fonction est continue. La fonction signe a bien un point de discontinuité en zéro, mais comme l’intervalle est ouvert, zéro est exclu de l’étude. Sur l’intervalle [0 ; +∞[, la fonction n’est plus continue, car elle n’est pas continue à droite en 0.

Pourquoi n’est-elle pas continue à droite ? Parce que la limite à droite est égale à un, mais la valeur de la fonction est égale à zéro. Les valeurs ne sont pas égales, donc la fonction n’est pas continue à droite en ce point.

On dit qu’une fonction est continue par morceaux si elle ne comporte qu’un nombre fini de points de discontinuité de première espèce (ou de discontinuités éliminables). Si elle comporte une infinité de points de discontinuité, elle n’est pas continue par morceaux, attention à cela.

En pratique, on étudie la continuité d’une fonction à l’aide de la dérivée de la fonction. Une fonction dérivable en un point y est aussi continue.