Непрекъснатост на функция

Непрекъснатостта на функция ни казва, както подсказва интуицията, дали функцията в дадена точка е непрекъсната или е някак разкъсана. Непрекъснатостта определяме и пресмятаме чрез граници на функции и ако не ги владееш, няма да се оправиш.

Определение за непрекъснатост на функция

Непрекъснатостта е учудващо лесна за определяне и се схваща лесно, ако си разбрал добре границите. И така, определението за непрекъснатост на функция:

Функцията f(x) се нарича непрекъсната в точката a от дефиниционното множество на функцията f, ако е изпълнено:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Можем да определим и непрекъснатост отляво и отдясно, като вместо границата вземем границата отляво или отдясно. Забележи:

• Засега определихме само непрекъснатост на функцията f в точка. Ако функцията f е непрекъсната във всички точки на своето дефиниционно множество, можем да кажем, че f е непрекъсната функция в цялото си дефиниционно множество.
• Точката a в определението за непрекъснатост трябва да е точка на сгъстяване.
• За да е функцията непрекъсната в точката a, трябва да съществува f(a) (стойността a трябва да е от дефиниционното множество на функцията), да съществува границата $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ и двете да са равни на една и съща стойност.
• Функция, непрекъсната в точка, е в нея непрекъсната и отляво, и отдясно. Функцията, подобно на границите, може да е в точка непрекъсната само отляво или само отдясно. Ако границата отляво и границата отдясно се различават, функцията не е непрекъсната в тази точка.

Какво ни казва определението? Първо, функцията трябва да е определена в дадената точка. Ако функцията не е определена в дадената точка, със сигурност не е и непрекъсната в нея. Ако е определена, поглеждаме границите. Ако функцията и отдясно, и отляво се приближава към стойността си в дадената точка, тя е непрекъсната в тази точка. Ако границите са различни от стойността на функцията, функцията в дадената точка е прекъсната.

Прост пример: в статията граница на функция показахме функцията $f(x)=\frac{x}{3}$, която е проста линейна функция. За всяка точка a ∈ ℝ е изпълнено, че

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Следователно функцията f е непрекъсната в цялото си дефиниционно множество. Например ако за a заместим числото 6, ще имаме:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Точки на прекъсване

Ако функцията не е непрекъсната в точката a, това означава, че в тази точка е прекъсната. Това не е голяма изненада. Различаваме обаче няколко вида точки на прекъсване, според това колко трябва да „променим графиката на функцията“, за да стане функцията непрекъсната.

Имаме три основни вида прекъсване:

Точка на отстранимо прекъсване

Точка на отстранимо прекъсване наричаме точка, за която съществуват и двете едностранни граници, тези граници са равни, т.е. функцията има в дадената точка граница, но тази граница е различна от стойността на функцията или функцията не е определена в тази точка. Ако a е точка на отстранимо прекъсване на функцията f(x), то е изпълнено, че:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ но }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Като пример ще покажем функцията абсолютна стойност от сигнум x. Искаме да знаем дали функцията е непрекъсната в точката a = 0. Следва графиката:

Виждаме, че функцията е почти навсякъде непрекъсната, само в точката нула има празнина, защото стойността на функцията там е нула, а не единица. Същевременно границите и отляво, и отдясно в тази точка са равни на единица. Това прекъсване се нарича отстранимо, защото с просто предефиниране на тази единствена точка получаваме непрекъсната функция. Тази точка на прекъсване се отстранява лесно.

Точка на прекъсване от първи род

Точка на прекъсване от първи род наричаме точка a, в която съществуват и двете едностранни граници, при това са крайни, но не са равни. Определение:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Тази точка на прекъсване ще покажем на простата функция f(x) = sgn(x):

Отново виждаме, че в точката a = 0 функцията е прекъсната. Границата отляво е равна на −1, а границата отдясно е равна на 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Границите отляво и отдясно не са равни, но са крайни. Това е точка на прекъсване от първи род.

За тази точка на прекъсване определяме още понятието скок на функция в точка. Това е разликата на тези граници, така че скокът s на функцията f в точката a е стойността:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Точка на прекъсване от втори род

Точка на прекъсване от втори род наричаме точка, която има поне една безкрайна едностранна граница или в която поне една граница не съществува. За пример ще покажем функцията $f(x)=\frac{1}{x}$. Точката на прекъсване е в точката нула:

Границата отляво в точката нула е минус безкрайност, а границата отдясно в точката нула е плюс безкрайност. И двете граници са безкрайни, така че това е точка на прекъсване от втори род. Това прекъсване не може да се отстрани по никакъв прост начин.

Непрекъснатост в интервал

Вече имаме определена непрекъснатост в точка, но нямаме определена непрекъснатост в някакъв интервал. И така: функцията е непрекъсната в интервала I, ако е непрекъсната във всяка точка от този интервал. Важно е внимателно да различаваме отворен и затворен интервал. Ако имаме интервал, отворен от двете страни, функцията не е нужно да е непрекъсната в крайните точки – още по принцип, защото отвореният интервал не съдържа крайните си точки. Ако обаче имаме затворен интервал, функцията трябва да е непрекъсната в тези крайни точки отляво или отдясно.

Отдавна не сме имали никъде функцията сигнум. Затова нека вземем функцията сигнум. В отворения интервал (0; +∞) функцията е непрекъсната. Функцията сигнум има точка на прекъсване в нулата, но понеже интервалът е отворен, нулата не се проверява. В интервала [0; +∞) функцията вече не е непрекъсната, защото не е непрекъсната отдясно в точката 0.

А защо не е непрекъсната отдясно? Защото границата отдясно е равна на едно, а стойността на функцията е равна на нула. Стойностите не са равни, затова функцията в дадената точка не е непрекъсната отдясно.

Функция наричаме частично непрекъсната, ако има краен брой точки на прекъсване от първи род (или отстранимо прекъсване). Ако има безкрайно много точки на прекъсване, не е частично непрекъсната – внимавай с това.

Непрекъснатостта на функция на практика установяваме с помощта на производната на функцията. Функция, която е диференцируема в точка, е непрекъсната и в тази точка.