Stetigkeit von Funktionen

Die Stetigkeit einer Funktion sagt uns, wie die Intuition schon nahelegt, ob die Funktion an einer gegebenen Stelle stetig ist oder ob sie irgendwie zerrissen ist. Stetigkeit definieren und berechnen wir mithilfe von Grenzwerten von Funktionen. Wenn du diese nicht beherrschst, wirst du nicht durchblicken.

Definition der Stetigkeit einer Funktion

Stetigkeit lässt sich erstaunlich einfach definieren und ist leicht zu verstehen, wenn du die Grenzwerte vollständig verstanden hast. Hier also die Definition der Stetigkeit einer Funktion:

Eine Funktion f(x) heißt stetig an der Stelle a aus der Definitionsmenge der Funktion f, wenn gilt:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Wir können noch Stetigkeit von links und von rechts definieren, wenn wir in den Grenzwert den linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert einsetzen. Beachte:

• Wir haben bisher nur die Stetigkeit der Funktion f an einer Stelle definiert. Ist die Funktion f an allen Stellen ihrer Definitionsmenge stetig, können wir sagen, dass f eine stetige Funktion auf der gesamten Definitionsmenge ist.
• Die Stelle a in der Definition der Stetigkeit muss ein Häufungspunkt sein.
• Damit die Funktion an der Stelle a stetig ist, muss f(a) existieren (der Wert a muss in der Definitionsmenge der Funktion liegen), der Grenzwert $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ muss existieren, und beides muss denselben Wert haben.
• Eine an einer Stelle stetige Funktion ist dort sowohl von links als auch von rechts stetig. Eine Funktion kann, ähnlich wie bei Grenzwerten, an einer Stelle auch nur von links oder nur von rechts stetig sein. Unterscheiden sich der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert, ist die Funktion an dieser Stelle nicht stetig.

Was sagt uns die Definition? Erstens muss die Funktion an der gegebenen Stelle definiert sein. Ist die Funktion an der Stelle nicht definiert, ist sie dort sicher auch nicht stetig. Ist sie definiert, schauen wir uns die Grenzwerte an. Nähert sich die Funktion von rechts und von links dem Funktionswert an der gegebenen Stelle, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig. Unterscheiden sich die Grenzwerte vom Funktionswert, dann ist die Funktion an dieser Stelle unstetig.

Ein einfaches Beispiel: Im Artikel Grenzwert einer Funktion hatten wir die Funktion $f(x)=\frac{x}{3}$, eine einfache lineare Funktion. Für jede Stelle a ∈ ℝ gilt, dass

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Die Funktion f ist also auf ihrer gesamten Definitionsmenge stetig. Wenn wir zum Beispiel für a die Zahl 6 einsetzen, erhalten wir:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Unstetigkeitsstellen

Ist eine Funktion an der Stelle a nicht stetig, bedeutet das, dass sie an dieser Stelle unstetig ist. Das ist keine große Überraschung. Wir unterscheiden allerdings mehrere Arten von Unstetigkeitsstellen, und zwar danach, wie sehr wir den „Graphen der Funktion verändern“ müssten, damit die Funktion stetig wird.

Es gibt drei Grundarten der Unstetigkeit:

Hebbare Unstetigkeit

Als Stelle hebbarer Unstetigkeit bezeichnen wir eine Stelle, für die beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind, d. h. die Funktion hat an der gegebenen Stelle einen Grenzwert, dieser Grenzwert ist aber vom Funktionswert verschieden, oder die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert. Ist a eine Stelle hebbarer Unstetigkeit der Funktion f(x), dann gilt:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ aber }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Als Beispiel zeigen wir die Funktion Betrag von Signum x. Wir wollen wissen, ob die Funktion an der Stelle a = 0 stetig ist. Hier der Graph:

Wir sehen, dass die Funktion fast überall stetig ist, nur an der Stelle null ist eine Lücke, weil der Funktionswert dort null ist und nicht eins. Dabei sind die Grenzwerte von links und von rechts an dieser Stelle gleich eins. Diese Unstetigkeit heißt hebbar, weil wir durch einfaches Umdefinieren dieses einen Punktes eine stetige Funktion erhalten. Diese Unstetigkeitsstelle lässt sich also leicht beheben.

Unstetigkeitsstelle erster Art

Als Unstetigkeitsstelle erster Art bezeichnen wir eine Stelle a, an der beide einseitigen Grenzwerte existieren, außerdem eigentlich (endlich) sind, aber nicht gleich sind. Definition:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Diese Unstetigkeitsstelle zeigen wir an der einfachen Funktion f(x) = sgn(x):

Wieder sehen wir, dass die Funktion an der Stelle a = 0 unstetig ist. Dabei ist der linksseitige Grenzwert gleich −1 und der rechtsseitige Grenzwert gleich 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Die Grenzwerte von links und von rechts sind nicht gleich, aber eigentlich (endlich). Es handelt sich also um eine Unstetigkeitsstelle erster Art.

Für diese Unstetigkeitsstelle definieren wir noch den Begriff Sprung der Funktion an der Stelle. Es handelt sich um die Differenz dieser Grenzwerte, der Sprung s der Funktion f an der Stelle a ist also der Wert:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Unstetigkeitsstelle zweiter Art

Als Unstetigkeitsstelle zweiter Art bezeichnen wir eine Stelle, die mindestens einen uneigentlichen (unendlichen) einseitigen Grenzwert hat oder an der mindestens ein Grenzwert nicht existiert. Als Beispiel zeigen wir die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$. Die Unstetigkeitsstelle liegt bei null:

Der linksseitige Grenzwert an der Stelle null ist minus unendlich und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle null ist plus unendlich. Beide Grenzwerte sind uneigentlich, es handelt sich also um eine Unstetigkeitsstelle zweiter Art. Diese Unstetigkeit lässt sich auf keine einfache Weise beheben.

Stetigkeit auf einem Intervall

Wir haben bereits die Stetigkeit an einer Stelle definiert, aber noch nicht die Stetigkeit auf einem Intervall. Also: Eine Funktion ist auf einem Intervall I stetig, wenn sie in jedem Punkt dieses Intervalls stetig ist. Wichtig ist, sorgfältig zwischen offenem und abgeschlossenem Intervall zu unterscheiden. Haben wir ein beidseitig offenes Intervall, muss die Funktion in den Randpunkten nicht stetig sein – schon deshalb, weil ein offenes Intervall seine Randpunkte nicht enthält. Haben wir dagegen ein abgeschlossenes Intervall, muss die Funktion in diesen Randpunkten von links bzw. von rechts stetig sein.

Die Signumfunktion hatten wir schon lange nicht mehr. Nehmen wir also die Signumfunktion. Auf dem offenen Intervall ]0; +∞[ ist die Funktion stetig. Die Signumfunktion hat zwar eine Unstetigkeitsstelle bei null, aber wegen der Offenheit des Intervalls ist die Null aus der Prüfung ausgenommen. Auf dem Intervall [0; +∞[ ist die Funktion nicht mehr stetig, weil sie an der Stelle 0 nicht von rechts stetig ist.

Und warum ist sie nicht von rechts stetig? Weil der rechtsseitige Grenzwert gleich eins ist, der Funktionswert aber gleich null. Die Werte sind nicht gleich, also ist die Funktion an der gegebenen Stelle nicht von rechts stetig.

Eine Funktion heißt stückweise stetig, wenn sie nur endlich viele Unstetigkeitsstellen erster Art (oder hebbare Unstetigkeiten) enthält. Enthält sie also unendlich viele Unstetigkeitsstellen, ist sie nicht stückweise stetig, darauf musst du achten.

Die Stetigkeit einer Funktion stellen wir in der Praxis mithilfe der Ableitung der Funktion fest. Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, ist an dieser Stelle auch stetig.