Continuitatea funcției

Continuitatea funcției ne spune, așa cum sugerează și intuiția, dacă funcția este continuă într-un punct dat sau dacă are acolo un fel de ruptură. Continuitatea o definim și o calculăm cu ajutorul limitelor de funcții; dacă nu le stăpânești, nu vei înțelege nimic din acest articol.

Definiția continuității funcției

Continuitatea se definește surprinzător de simplu și se înțelege ușor, dacă ai înțeles bine limitele. Iată deci definiția continuității funcției:

Funcția f(x) se numește continuă în punctul a din domeniul de definiție al funcției f dacă

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Putem defini în plus continuitatea la stânga și la dreapta, dacă în locul limitei punem limita la stânga sau la dreapta. Observă:

• Până acum am definit doar continuitatea funcției f într-un punct. Dacă funcția f este continuă în toate punctele domeniului său de definiție, putem spune că f este funcție continuă pe tot domeniul de definiție.
• Punctul a din definiția continuității trebuie să fie punct de acumulare.
• Pentru ca funcția să fie continuă în punctul a, trebuie să existe f(a) (valoarea a trebuie să fie din domeniul de definiție al funcției), trebuie să existe limita $\underset{x\to a}{lim}f(x)$, iar cele două trebuie să fie egale.
• O funcție continuă într-un punct este în acel punct continuă și la stânga, și la dreapta. La fel ca în cazul limitelor, o funcție poate fi continuă într-un punct doar la stânga sau doar la dreapta. Dacă limita din stânga și limita din dreapta diferă, funcția nu este continuă în acel punct.

Ce ne spune definiția? În primul rând, funcția trebuie să fie definită în punctul dat. Dacă funcția nu este definită în punct, cu siguranță nu este continuă în el. Dacă este definită, ne uităm la limite. Dacă funcția se apropie de valoarea funcției în punctul dat și din dreapta, și din stânga, atunci funcția este continuă în acel punct. Dacă limitele sunt diferite de valoarea funcției, atunci funcția este discontinuă în punctul dat.

Un exemplu simplu: în articolul limita unei funcții am avut funcția $f(x)=\frac{x}{3}$, care este o funcție de gradul întâi simplă. Pentru orice punct a ∈ ℝ avem

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Funcția f este deci continuă pe tot domeniul ei de definiție. De exemplu, dacă în locul lui a punem numărul 6, obținem:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Puncte de discontinuitate

Dacă funcția nu este continuă în punctul a, înseamnă că în acel punct este discontinuă. Nu e nicio surpriză. Totuși, distingem mai multe feluri de puncte de discontinuitate, în funcție de cât de mult ar trebui să „modificăm graficul funcției” ca funcția să devină continuă.

Avem trei feluri de bază de discontinuitate:

Punct de discontinuitate eliminabilă

Numim punct de discontinuitate eliminabilă un punct pentru care există ambele limite laterale, aceste limite sunt egale, adică funcția are în punctul dat limită, dar această limită este diferită de valoarea funcției sau funcția nu este definită în acest punct. Dacă a este punct de discontinuitate eliminabilă al funcției f(x), atunci:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ dar }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Ca exemplu luăm funcția modul din signum x. Vrem să știm dacă funcția este continuă în punctul a = 0. Urmează graficul:

Vedem că funcția este aproape peste tot continuă, doar în punctul zero este o gaură, pentru că valoarea funcției este aici egală cu zero, nu cu unu. În același timp, limitele din stânga și din dreapta sunt în acest punct egale cu unu. Această discontinuitate se numește eliminabilă, pentru că prin simpla redefinire a acelui singur punct obținem o funcție continuă. Acest punct de discontinuitate este deci ușor de înlăturat.

Punct de discontinuitate de speța întâi

Numim punct de discontinuitate de speța întâi un punct a în care există ambele limite laterale, acestea sunt în plus finite, dar nu sunt egale. Definiția:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Acest punct de discontinuitate îl arătăm pe funcția simplă f(x) = sgn(x):

Vedem din nou că în punctul a = 0 funcția este discontinuă. Limita din stânga este egală cu −1, iar limita din dreapta este egală cu 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\mathrm{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\mathrm{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Limitele din stânga și din dreapta nu sunt egale, dar sunt finite. Este deci un punct de discontinuitate de speța întâi.

Pentru acest punct de discontinuitate definim și noțiunea de salt al funcției în punct. Este diferența acestor limite, deci saltul s al funcției f în punctul a este valoarea:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Punct de discontinuitate de speța a doua

Numim punct de discontinuitate de speța a doua un punct în care cel puțin una dintre limitele laterale este infinită sau cel puțin una dintre limite nu există. Ca exemplu luăm funcția $f(x)=\frac{1}{x}$. Punctul de discontinuitate se află în zero:

Limita din stânga în punctul zero este minus infinit, iar limita din dreapta în punctul zero este plus infinit. Ambele limite sunt infinite, deci este un punct de discontinuitate de speța a doua. Această discontinuitate nu poate fi înlăturată în niciun mod simplu.

Continuitatea pe un interval

Avem deja definită continuitatea într-un punct, dar nu avem definită continuitatea pe un interval. Deci: funcția este continuă pe intervalul I dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval. Este important să distingem cu grijă intervalul deschis de cel închis. Dacă avem un interval deschis la ambele capete, funcția nu trebuie să fie continuă în extremități – chiar din principiul că intervalul deschis nu își conține extremitățile. Dacă însă avem un interval închis, funcția trebuie să fie în extremități continuă la stânga sau la dreapta.

Mult timp nu am mai avut funcția signum. Să luăm deci funcția signum. Pe intervalul deschis (0, +∞) funcția este continuă. Funcția signum are, e drept, un punct de discontinuitate în zero, dar datorită faptului că intervalul este deschis, zero este exclus din verificare. Pe intervalul [0, +∞) funcția nu mai este continuă, pentru că nu este continuă la dreapta în punctul 0.

Și de ce nu este continuă la dreapta? Pentru că limita din dreapta este egală cu unu, dar valoarea funcției este egală cu zero. Valorile nu sunt egale, deci funcția nu este continuă la dreapta în punctul dat.

Numim o funcție continuă pe porțiuni dacă are un număr finit de puncte de discontinuitate de speța întâi (sau discontinuitate eliminabilă). Dacă are deci infinit de multe puncte de discontinuitate, nu este continuă pe porțiuni, fii atent la asta.

În practică, continuitatea funcției se studiază cu ajutorul derivatei funcției. O funcție care este derivabilă într-un punct este în acel punct și continuă.