Continuïteit van een functie

Continuïteit van een functie vertelt ons, zoals de intuïtie al zegt, of de functie in een gegeven punt continu is of dat ze ergens “gescheurd” is. Continuïteit definiëren en berekenen we met behulp van limieten van functies; als je die niet beheerst, kun je het niet volgen.

Definitie van continuïteit van een functie

Continuïteit is verrassend eenvoudig te definiëren en gemakkelijk te begrijpen als je limieten helemaal doorhebt. Dus de definitie van continuïteit van een functie:

De functie f(x) heet continu in het punt a uit het domein van de functie f als geldt:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

We kunnen ook continuïteit van links en van rechts definiëren, als we in plaats van de limiet de linker- of rechterlimiet invullen. Let op:

• We hebben tot nu toe alleen de definitie van continuïteit van de functie f in een punt gegeven. Als de functie f continu is in alle punten van haar domein, dan kunnen we van de functie f zeggen dat het een continue functie is op het hele domein.
• Het punt a in de definitie van continuïteit moet een ophopingspunt zijn.
• Wil de functie in het punt a continu zijn, dan moet f(a) bestaan (de waarde a moet tot het domein van de functie horen), moet de limiet $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ bestaan en moeten beide gelijk zijn aan dezelfde waarde.
• Een functie die in een punt continu is, is er zowel van links als van rechts continu. Een functie kan, net als bij limieten, in een punt alleen van links of alleen van rechts continu zijn. Als de linker- en de rechterlimiet verschillen, is de functie in dat punt niet continu.

Wat zegt de definitie ons? Ten eerste moet de functie in het gegeven punt gedefinieerd zijn. Als de functie in het gegeven punt niet gedefinieerd is, is ze daar zeker ook niet continu. Als ze wel gedefinieerd is, kijken we naar de limieten. Als de functie zowel van rechts als van links de functiewaarde in het gegeven punt nadert, dan is de functie in het gegeven punt continu. Als de limieten verschillen van de functiewaarde, dan is de functie in het gegeven punt niet continu.

Een eenvoudig voorbeeld: in het artikel limiet van een functie hadden we de functie $f(x)=\frac{x}{3}$, een eenvoudige lineaire functie. Voor elk punt a ∈ ℝ geldt dat

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

De functie f is dus continu op haar hele domein. Als we bijvoorbeeld voor a het getal 6 invullen, hebben we:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Discontinuïteiten

Als een functie in het punt a niet continu is, betekent dat dat ze in dit punt discontinu is. Dat is geen grote verrassing. We onderscheiden echter verschillende soorten discontinuïteiten, afhankelijk van hoeveel we de grafiek van de functie zouden moeten “aanpassen” om de functie continu te maken.

We hebben drie basissoorten discontinuïteit:

Ophefbare discontinuïteit (perforatie)

Een punt van ophefbare discontinuïteit noemen we een punt waarvoor beide eenzijdige limieten bestaan en gelijk zijn, dus de functie heeft in het gegeven punt een limiet, maar die limiet is verschillend van de functiewaarde, of de functie is in dit punt niet gedefinieerd. Als a een punt van ophefbare discontinuïteit van de functie f(x) is, dan geldt:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ maar }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Als voorbeeld laten we de absolute-waardefunctie van signum x zien. We willen weten of de functie in het punt a = 0 continu is. De grafiek volgt:

We zien dat de functie bijna overal continu is, alleen in het punt nul zit een gat, want de functiewaarde is daar gelijk aan nul, niet aan één. Tegelijk zijn de limieten van links en van rechts in dit punt gelijk aan één. Deze discontinuïteit heet ophefbaar, omdat we door dat ene punt eenvoudig opnieuw te definiëren een continue functie krijgen. Dit discontinuïteitspunt is dus gemakkelijk op te heffen.

Discontinuïteit van de eerste soort

Een punt van discontinuïteit van de eerste soort noemen we een punt a waarin beide eenzijdige limieten bestaan, bovendien eindig zijn, maar niet gelijk. Definitie:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Dit soort discontinuïteit laten we zien aan de eenvoudige functie f(x) = sgn(x):

Opnieuw zien we dat de functie in het punt a = 0 niet continu is. Daarbij geldt dat de linkerlimiet gelijk is aan −1 en de rechterlimiet gelijk is aan 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

De linker- en de rechterlimiet zijn niet gelijk, maar wel eindig. Het gaat dus om een punt van discontinuïteit van de eerste soort.

Voor dit soort discontinuïteit definiëren we ook het begrip sprong van de functie in een punt. Dat is het verschil van deze limieten, dus de sprong s van de functie f in het punt a is de waarde:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Discontinuïteit van de tweede soort

Een punt van discontinuïteit van de tweede soort noemen we een punt dat minstens één oneindige eenzijdige limiet heeft of waarvoor minstens één limiet niet bestaat. Als voorbeeld laten we de functie $f(x)=\frac{1}{x}$ zien. Het discontinuïteitspunt is het punt nul:

De linkerlimiet in het punt nul is min oneindig en de rechterlimiet in het punt nul is plus oneindig. Beide limieten zijn oneindig, dus het gaat om een punt van discontinuïteit van de tweede soort. Deze discontinuïteit is op geen enkele eenvoudige manier op te heffen.

Continuïteit op een interval

We hebben continuïteit in een punt al gedefinieerd, maar nog niet continuïteit op een interval. Dus: een functie is continu op een interval I als ze continu is in elk punt van dat interval. Het is belangrijk om zorgvuldig onderscheid te maken tussen een open en een gesloten interval. Als we een aan beide kanten open interval hebben, hoeft de functie in de randpunten niet continu te zijn — al omdat een open interval zijn randpunten niet bevat. Maar als we een gesloten interval hebben, moet de functie in deze randpunten van links of van rechts continu zijn.

We hebben al lang geen signumfunctie meer gehad. Dus laten we de signumfunctie nemen. Op het open interval ⟨0, → ⟩ is de functie continu. De signumfunctie heeft weliswaar een discontinuïteitspunt in nul, maar doordat het interval open is, valt nul buiten het onderzoek. Op het interval [0, → ⟩ is de functie niet meer continu, want ze is in het punt 0 niet van rechts continu.

En waarom is ze niet van rechts continu? Omdat de rechterlimiet gelijk is aan één, maar de functiewaarde gelijk is aan nul. De waarden zijn niet gelijk, dus de functie is in het gegeven punt niet van rechts continu.

Een functie noemen we stuksgewijs continu als ze een eindig aantal punten van discontinuïteit van de eerste soort (of een ophefbare discontinuïteit) bevat. Als ze dus oneindig veel discontinuïteitspunten bevat, is ze niet stuksgewijs continu, let daar op.

Continuïteit van een functie onderzoeken we in de praktijk met de afgeleide van de functie. Een functie die in een punt differentieerbaar is, is in dat punt ook continu.