Continuidad de una función

La continuidad de una función nos dice, como ya sugiere la intuición, si la función es continua en un punto dado o si está de algún modo «rota». La continuidad se define y se calcula mediante límites de funciones; si no los dominas, no te vas a enterar de nada.

Definición de continuidad de una función

La continuidad es sorprendentemente fácil de definir y de entender, siempre que hayas comprendido bien los límites. Esta es la definición de continuidad de una función:

Una función f(x) se llama continua en un punto a del dominio de la función f si se cumple:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

También podemos definir la continuidad por la izquierda y por la derecha, sustituyendo el límite por el límite por la izquierda o por la derecha. Fíjate en lo siguiente:

• Hasta ahora solo hemos definido la continuidad de la función f en un punto. Si la función f es continua en todos los puntos de su dominio, podemos decir de la función f que es una función continua en todo su dominio.
• El punto a de la definición de continuidad tiene que ser un punto de acumulación.
• Para que la función sea continua en el punto a, tiene que existir f(a) (el valor a debe pertenecer al dominio de la función), tiene que existir el límite $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ y ambos deben ser iguales.
• Una función continua en un punto es continua en él por la izquierda y por la derecha. Una función, igual que ocurría con los límites, puede ser continua en un punto solo por la izquierda o solo por la derecha. Si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son distintos, la función no es continua en ese punto.

¿Qué nos dice la definición? En primer lugar, la función tiene que estar definida en el punto dado. Si la función no está definida en el punto, desde luego tampoco es continua en él. Si está definida, miramos los límites. Si la función se acerca, tanto por la derecha como por la izquierda, al valor de la función en el punto dado, entonces la función es continua en ese punto. Si los límites son distintos del valor de la función, entonces la función es discontinua en ese punto.

Un ejemplo sencillo: en el artículo límite de una función teníamos la función $f(x)=\frac{x}{3}$, que es una función lineal simple. Para cualquier punto a ∈ ℝ se cumple que

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

La función f es, por tanto, continua en todo su dominio. Por ejemplo, si sustituyéramos a por el número 6, tendríamos:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Puntos de discontinuidad

Si la función no es continua en el punto a, significa que en ese punto es discontinua. No es ninguna sorpresa. Sin embargo, distinguimos varios tipos de puntos de discontinuidad, según cuánto tendríamos que «retocar la gráfica de la función» para que la función fuera continua.

Tenemos tres tipos básicos de discontinuidad:

Punto de discontinuidad evitable

Llamamos punto de discontinuidad evitable a un punto para el que existen ambos límites laterales y esos límites son iguales, es decir, la función tiene límite en ese punto, pero este límite es distinto del valor de la función o la función no está definida en ese punto. Si a es un punto de discontinuidad evitable de la función f(x), se cumple que:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ pero }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Como ejemplo mostraremos la función valor absoluto del signo de x. Queremos saber si la función es continua en el punto a = 0. La gráfica es la siguiente:

Vemos que la función es continua casi en todas partes; solo en el punto cero hay un hueco, porque el valor de la función es allí igual a cero, no a uno. Sin embargo, los límites por la izquierda y por la derecha en este punto son iguales a uno. Esta discontinuidad se llama evitable porque redefiniendo simplemente ese único punto obtenemos una función continua. Este punto de discontinuidad es, por tanto, fácil de evitar.

Punto de discontinuidad de primera especie

Llamamos punto de discontinuidad de primera especie a un punto a en el que existen ambos límites laterales, además son finitos, pero no son iguales. Definición:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Mostraremos este punto de discontinuidad con la función sencilla f(x) = sgn(x):

Vemos de nuevo que en el punto a = 0 la función es discontinua. Se cumple que el límite por la izquierda es igual a −1 y el límite por la derecha es igual a 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, pero son finitos. Se trata, por tanto, de un punto de discontinuidad de primera especie.

Para este punto de discontinuidad definimos además el concepto de salto de la función en el punto. Es la diferencia de estos límites, de modo que el salto s de la función f en el punto a es el valor:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Punto de discontinuidad de segunda especie

Llamamos punto de discontinuidad de segunda especie a un punto que tiene al menos un límite lateral infinito o en el que al menos uno de los límites no existe. Como ejemplo mostraremos la función $f(x)=\frac{1}{x}$. El punto de discontinuidad está en el punto cero:

El límite por la izquierda en el punto cero es menos infinito y el límite por la derecha en el punto cero es más infinito. Ambos límites son infinitos, así que se trata de un punto de discontinuidad de segunda especie. Esta discontinuidad no se puede evitar de ninguna manera sencilla.

Continuidad en un intervalo

Ya tenemos definida la continuidad en un punto, pero todavía no la tenemos definida en un intervalo. Pues bien: una función es continua en un intervalo I si es continua en cada punto de ese intervalo. Es importante distinguir con cuidado entre intervalo abierto y cerrado. Si tenemos un intervalo abierto por ambos lados, la función no tiene por qué ser continua en los extremos, ya por el simple hecho de que un intervalo abierto no contiene sus extremos. Pero si tenemos un intervalo cerrado, la función debe ser continua por la izquierda o por la derecha en esos extremos.

Hace tiempo que no aparecía la función signo. Así que tomemos la función signo. En el intervalo abierto (0, +∞) la función es continua. Aunque la función signo tiene un punto de discontinuidad en el cero, gracias a que el intervalo es abierto, el cero queda fuera de la comprobación. En el intervalo [0, +∞) la función ya no es continua, porque no es continua por la derecha en el punto 0.

¿Y por qué no es continua por la derecha? Porque el límite por la derecha es igual a uno, pero el valor de la función es igual a cero. Los valores no coinciden, así que la función no es continua por la derecha en ese punto.

Llamamos función continua a trozos a la que contiene un número finito de puntos de discontinuidad de primera especie (o una discontinuidad evitable). Por tanto, si contiene infinitos puntos de discontinuidad, no es continua a trozos; ojo con eso.

En la práctica, la continuidad de una función se comprueba mediante la derivada de la función. Una función que es derivable en un punto también es continua en ese punto.