2次方程式

2次方程式とは、未知数を1つ含み、その未知数が2乗されている方程式です。未知数が3乗以上されている場合は、もう2次方程式ではありません。

2次方程式の形

2次方程式の基本の形は次のとおりです。

$a x^{2} + b x + c = 0$

a、b、c は実数で、a は0ではありません。各部分の呼び名は次のとおりです。

ax² を2次の項といいます。
bx を1次の項といいます。
c を定数項といいます。

どんな2次方程式も、同値変形などの変形で基本の形に直せます。2次方程式の例として、次の方程式があります。

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

では、次の方程式も2次方程式でしょうか。少し難しい問題です。

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

x² はどこにも見えず、右辺も0ではありません。右辺は簡単に片づきます。両辺から7を引くと、次の形になります。

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

まだ x² はありません。かっこをはずすと、次のようになります。

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

これで x² が現れました。項をまとめると、ようやく2次方程式の基本の形になります。

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

次の例はどうでしょうか。これは2次方程式でしょうか。基本の形に直せるでしょうか。

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

答えは「直せない」です。分母の変数をなくすために両辺に x をかけると、次のようになります。

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

今度は x³ が出てきました。2次方程式に x³ があってはいけません。

係数 a、b、c の値によって、特別な形の2次方程式があります。

係数の値

この先の節では、係数 a、b、c をそれぞれ正しく読み取れることがとても大切です。簡単な例から始めましょう。方程式 3x² + 4x + 7 = 0 の係数を求めなさい。これは簡単で、a = 3、b = 4、c = 7 です。

では、方程式 3x² − x + 2 = 0 はどうでしょうか。a と c はすぐわかり、a = 3、c = 2 です。では b はどうでしょうか。b = 1 と書くのは間違いです。x の前に1があると考えて、3x² − 1x + 2 = 0 と書いてみましょう。こうすると、b = −1 であることがよくわかります。

次の例も見てみましょう。x² − 3 = 0 です。ここでも係数 b でつまずくかもしれません。ほかの係数は明らかで、a = 1、c = −3 です。係数 b の値はいくつでしょうか。この方程式には1次の項がまったくありません。これは方程式を x² + 0x − 3 = 0 と書いたのと同じです。したがって b = 0 です。

もっと複雑な例です。

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

この方程式には落とし穴が2つあります。定数項がないので c = 0 です。2次の項は明らかで a = 5 です。では、やっかいな b はどうでしょうか。方程式を少し変形して、2つの項から変数 x を次のようにくくり出します。

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

係数 b は変数 x の「前」にあるものなので、かっこ全体が係数 b = (3 + π) です。似た方程式を見てみましょう。

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

最初の2つの係数は明らかで、a = −1、b = 4 です。定数項は何でしょうか。x を含まない残りの項です。したがって $c = 1 - \sqrt{2}$ です。平方根を怖がる必要はありません。ふつうの数です。

では、次の方程式の係数はいくつでしょうか。(x + 1)(x + 2) = −2x です。まず方程式を基本の形に直す必要があります。かっこをはずすと、次のようになります。

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

最後に、右辺を0にするために両辺に 2x を足します。

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

これで係数は明らかです。a = 1、b = 5、c = 2 です。

b = 0 の2次方程式

b = 0 の2次方程式は、1次方程式と同じように解けます。この方程式の基本の形は次のとおりです。

$a x^{2} + c = 0$

b = 0 なので、0x = 0 となり、1次の項 bx は方程式から消えます。この方程式は、まず定数項を移項して解きます。つまり両辺から c を引きます。すると次のようになります。

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

次に、両辺を a で割ります。すると次の形になります。

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

最後に、両辺の平方根をとります。ただし、負の数の平方根は（実数の範囲では）とれないので、右辺の分数は負であってはいけません。結果は次のとおりです。

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

解が2つ、正のものと負のものが得られることに注目しましょう。例で見るとよくわかります。次の方程式を解いてみましょう。

$2 x^{2} - 8 = 0.$

手順どおり、まず両辺から c を引きます。この場合は c が負なので、負の数を引く、つまり正の数を足すことに注意しましょう。そこで両辺に +8 を足します（8を右辺に移すのが目的です）。すると次の形になります。

$2 x^{2} = 8$

次に、手順どおり両辺を a、つまり2で割ります。割ると次の形になります。

$x^{2} = 4$

ここで両辺の平方根をとります。

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

なぜマイナス2も解なのでしょうか。マイナス2とマイナス2をかけると4になるからです。グラフで解を見ることもできます。関数 2x² − 8 のグラフは、ちょうど x₁ = −2 と x₂ = 2 で x 軸と交わっています。

方程式 2x^2-8=0 をグラフで解いたところ

次の方程式を解きなさい。

$80 x^{2} - 5 = 0.$

両辺に5を足します。

$80 x^{2} = 5$

両辺を80で割ります。

$x^{2} = \frac{5}{80}$

分数を約分します。

$x^{2} = \frac{1}{16}$

両辺の平方根をとります。

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

定数項のない2次方程式

2次方程式のもう一つの特別な場合は、定数項 c が0のときです。方程式の基本の形は次のとおりです。

$a x^{2} + b x = 0$

この形の方程式は、未知数をくくり出して解きます。

$x (a x + b) = 0.$

これで答えはかなりはっきり見えてきます。ここでも解は2つですが、そのうち1つは必ず0です。左辺全体が、x とかっこ (ax + b) の2つの式の積になっているからです。この積が0になるのはどんなときでしょうか。少なくとも一方の式が0のときです。したがって、左辺が0になるのは次の2つの場合です。

$x = 0 または a x + b = 0.$

方程式の1つ目の解はこれで求まりました。0です。もう1つの解は、1次方程式 ax + b = 0 を解けば得られます。1次方程式の記事で見たように、この方程式の解はただ1つで、次のようになります。

$x = - \frac{b}{a}$

これで、2次方程式 ax² + bx = 0 の解が書けます。

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

例を見てみましょう。

$6 x^{2} + 3 x = 0$

x をくくり出します。

$x (6 x + 3) = 0$

1つ目の解は x = 0 です。2つ目の解は、1次方程式 6x + 3 = 0 を解いて求めます。

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

答えを書きます。

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

ここでも関数のグラフを見てみましょう。グラフはちょうどこの2点で x 軸と交わっています。

関数 6x^2+3x のグラフ

そのほかの解き方

ここまでが、特別な形の2次方程式の基本的な解き方です。一般の2次方程式は判別式を使って解きます。ほかには、定数（パラメータ）を含む2次方程式などもあります。

計算機

一般の方程式 ax² + bx + c = 0 の係数 a、b、c を入力すると、判別式と解を計算します。単独の2次方程式の計算ツールもあります。

章: 2次方程式, 判別式, 文字係数の2次方程式, 複素数の範囲での2次方程式

« 前へ: 文字係数の1次方程式

次へ: 判別式 »