Уравнение на допирателна

Допирателната е права, която се допира до графиката на функцията в една точка и има в нея същия наклон като графиката. В близост до тази точка тя се долепва до графиката толкова плътно, че почти не може да се различи от нея. Нека го покажем върху параболата, т.е. върху графиката на функцията f(x) = x²:

Червената права t е допирателната в точката T(1; 1). Сивата прекъсната права минава през същата точка, но има друг наклон и затова пресича графиката и малко встрани се среща с нея отново. Следователно не е допирателна.

Задачата обикновено изглежда така: имаме функция и точка от нейната графика и искаме да запишем уравнението на допирателната в тази точка, т.е. уравнението на права във вида y = kx + b. За уравнението на права ни трябват две неща:

• точка, през която минава правата,
• ъглов коефициент k, т.е. числото, което казва колко е наклонена правата.

Точката ни е зададена. Тя лежи върху графиката, така че ако първата ѝ координата е x₀, втората ѝ координата е f(x₀). С ъгловия коефициент ще ни помогне производната: производната на функцията в точка е ъгловият коефициент на допирателната в тази точка. Остава от точката и ъгловия коефициент да съставим уравнението на правата.

Права, зададена с точка и ъглов коефициент

Правата, която има ъглов коефициент k и минава през точката (x₀; y₀), има уравнение

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

Това се проверява веднага: когато заместиш x с x₀, дясната страна е нула, така че y = y₀ и точката лежи на правата. А числото пред скобата е ъгловият коефициент, защото след разкриване на скобите получаваме уравнението на права с ъглов коефициент y = kx + b с k на правилното място.

При допирателната за точката на допиране заместваме y₀ = f(x₀), а вместо ъгловия коефициент – производната, k = f'(x₀).

Формула

Ако търсиш само формулата, допирателната към графиката на функцията f в точката (x₀; f(x₀)) записваш като

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

където x₀ е първата координата на точката на допиране, а f'(x₀) е производната на функцията f в тази точка. Формулата предполага, че производната в точката x₀ съществува, иначе по този начин не можем да запишем допирателната.

Целият метод има три стъпки:

1. пресмятаме f(x₀),
2. диференцираме функцията и пресмятаме f'(x₀),
3. заместваме двете числа във формулата и преобразуваме.

Пример

Ще запишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(x) = x² в точката x₀ = 1, т.е. на онази червена допирателна от чертежа в началото на статията.

Започваме със стойността на функцията в точката x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Следователно точката на допиране е (1; 1). След това идва ред на производната, според формулите за производни е изпълнено (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

В производната заместваме x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Ъгловият коефициент на допирателната е две. Заместваме двете числа във формулата:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Разкриваме скобата:

$$y-1=2x-2$$

Остава да изразим y, затова прехвърляме единицата вдясно:

$$y=2x-1$$

Допирателната към графиката на функцията x² в точката (1; 1) има уравнение y = 2x − 1. Проверка, че допирателната наистина минава през точката на допиране: 2 · 1 − 1 = 1. Съвпада.

Честа грешка е да заместим x₀ в първоначалната функция и там, където трябва да е производната, и да запишем y − 1 = 1 · (x − 1). Получава се права, която наистина минава през точката, но има грешен наклон и затова пресича графиката. Това е сивата прекъсната права y = x от началния чертеж.

Допирателна, успоредна на права

Понякога обаче точката на допиране не е зададена и трябва сами да я открием. Типичното условие гласи: намери допирателната към графиката на функцията

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

която е успоредна на правата y = 2x − 7.

Правата y = 2x − 7 сама не е допирателна, с параболата дори няма обща точка. Когато приравним двете уравнения, получаваме x² − 6x + 12 = 0 и това квадратно уравнение няма решение, защото дискриминантата е 36 − 48 = −12. Затова трябва да преместим правата дотам, че само да се допре до параболата.

Успоредните прави имат равни ъглови коефициенти, така че търсената допирателна трябва да има ъглов коефициент две, както правата y = 2x − 7. Затова търсим точка, в която производната е равна на две. Диференцираме:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Приравняваме производната на две и решаваме линейното уравнение:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Първата координата на точката на допиране е x₀ = 3. Втората получаваме от функцията:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Имаме точка на допиране T(3; 2) и ъглов коефициент две, така че можем да запишем:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

След разкриване на скобите и прехвърляне на числото 2 вдясно получаваме:

$$y=2x-4$$

Търсената допирателна има уравнение y = 2x − 4. На чертежа виждаш параболата в черно, зададената права p в синьо, допирателната t в червено и точката на допиране T в оранжево.

Ако зададената права имаше друг ъглов коефициент, методът би бил съвсем същият, само че бихме приравнили производната на друго число. При парабола винаги се получава точно една точка на допиране, при по-сложни функции може да са повече или да няма нито една.

Нормала

Нормалата е права, която минава през точката на допиране и е перпендикулярна на допирателната. Ако допирателната има ъглов коефициент k, перпендикулярната права има ъглов коефициент $-\frac{1}{k}$. Уравнението на нормалата е

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Формулата използваме само когато f'(x₀) ≠ 0. Ако производната е нула, допирателната е хоризонтална, а нормалата е вертикалната права x = x₀.

Да се върнем към първия пример, т.е. към функцията x² в точката (1; 1), и да пресметнем нормалата. Ъгловият коефициент на допирателната беше две, затова ъгловият коефициент на нормалата е $-\frac{1}{2}$. Заместваме:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Разкриваме скобите:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Единицата прехвърляме в дясната страна и събираме дробите:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Нормалата към графиката на функцията x² в точката (1; 1) се задава с уравнението $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.