Tangentens ligning

En tangent er en linje, der rører grafen for en funktion i ét punkt og har samme hældning som grafen i det punkt. I nærheden af punktet slutter den sig så tæt til grafen, at de næsten ikke kan skelnes fra hinanden. Lad os vise det på parablen, altså på grafen for funktionen f(x) = x²:

Den røde linje t er tangenten i punktet T(1, 1). Den grå stiplede linje går gennem det samme punkt, men har en anden hældning, og derfor skærer den grafen og møder den igen et stykke derfra. Den er altså ikke en tangent.

Opgaven ser normalt sådan ud: Vi har en funktion og et punkt på dens graf, og vi vil opskrive tangentens ligning i dette punkt, altså ligningen for en linje på formen y = ax + b. Til en linjes ligning har vi brug for to ting:

• et punkt, som linjen går gennem,
• hældningskoefficienten a, altså et tal, der fortæller, hvor meget linjen hælder.

Punktet er givet. Det ligger på grafen, så hvis dets første koordinat er x₀, er dets anden koordinat f(x₀). Hældningskoefficienten får vi hjælp til af differentialkvotienten: differentialkvotienten af en funktion i et punkt er netop tangentens hældningskoefficient i dette punkt. Tilbage er at sætte linjens ligning sammen ud fra punktet og hældningskoefficienten.

Linje givet ved et punkt og en hældningskoefficient

En linje, der har hældningskoefficienten a og går gennem punktet (x₀, y₀), har ligningen

$$y-y_0=a\cdot (x-x_0).$$

Det kan kontrolleres med det samme: Når du indsætter x₀ for x, er højresiden nul, så y = y₀, og punktet ligger på linjen. Og tallet foran parentesen er hældningskoefficienten, for efter at have ganget ind i parentesen får vi linjens ligning på formen y = ax + b med a på det rigtige sted.

Ved en tangent indsætter vi y₀ = f(x₀) for røringspunktet og differentialkvotienten for hældningskoefficienten, a = f'(x₀).

Formel

Hvis du kun leder efter formlen, kan du opskrive tangenten til grafen for funktionen f i punktet (x₀, f(x₀)) som

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

hvor x₀ er røringspunktets første koordinat, og f'(x₀) er differentialkvotienten af funktionen f i dette punkt. Formlen forudsætter, at differentialkvotienten i punktet x₀ findes, ellers kan vi ikke opskrive tangenten på denne måde.

Hele fremgangsmåden har altså tre trin:

1. vi beregner f(x₀),
2. vi differentierer funktionen og beregner f'(x₀),
3. vi indsætter begge tal i formlen og reducerer.

Eksempel

Vi opskriver ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x² i punktet x₀ = 1, altså den røde tangent fra figuren i begyndelsen af artiklen.

Vi starter med funktionsværdien i punktet x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Røringspunktet ligger altså i (1, 1). Så er det tid til differentialkvotienten. Ifølge formlerne til differentiation gælder (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

I differentialkvotienten indsætter vi x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Tangentens hældningskoefficient er to. Vi indsætter begge tal i formlen:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Vi ganger ind i parentesen:

$$y-1=2x-2$$

Tilbage er at isolere y, så vi flytter ettallet over på den anden side:

$$y=2x-1$$

Tangenten til grafen for funktionen x² i punktet (1, 1) har ligningen y = 2x − 1. Prøve på, at tangenten virkelig går gennem røringspunktet: 2 · 1 − 1 = 1. Det passer.

En hyppig fejl er at indsætte x₀ i den oprindelige funktion også dér, hvor differentialkvotienten skal stå, og skrive y − 1 = 1 · (x − 1). Det giver godt nok en linje, der går gennem punktet, men den har den forkerte hældning og skærer derfor grafen. Det er netop den grå stiplede linje y = x fra figuren i begyndelsen.

Tangent parallel med en linje

Nogle gange er røringspunktet imidlertid ikke givet, og vi må finde det selv. En typisk opgave lyder: Find tangenten til grafen for funktionen

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

som er parallel med linjen y = 2x − 7.

Linjen y = 2x − 7 er ikke selv en tangent, den har faktisk slet ingen fælles punkter med parablen. Når vi sætter de to ligninger lig med hinanden, får vi x² − 6x + 12 = 0, og denne andengradsligning har ingen løsning, fordi diskriminanten bliver 36 − 48 = −12. Linjen må derfor flyttes så langt, at den kun netop rører parablen.

Parallelle linjer har samme hældningskoefficient, så den tangent, vi leder efter, skal have hældningskoefficienten to, ligesom linjen y = 2x − 7. Vi leder derfor efter et punkt, hvor differentialkvotienten er lig med to. Vi differentierer:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Vi sætter differentialkvotienten lig med to og løser den lineære ligning:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Røringspunktets første koordinat er x₀ = 3. Den anden får vi fra funktionen:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Vi har røringspunktet T(3, 2) og hældningskoefficienten to, så vi kan skrive:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Efter at have ganget ind i parentesen og flyttet tallet to over på den anden side får vi:

$$y=2x-4$$

Den tangent, vi leder efter, har ligningen y = 2x − 4. På figuren ser du parablen med sort, den givne linje p med blåt, tangenten t med rødt og røringspunktet T med orange.

Hvis den givne linje havde en anden hældningskoefficient, ville fremgangsmåden være helt den samme, vi ville bare sætte differentialkvotienten lig med et andet tal. Ved en parabel får vi altid netop ét røringspunkt, ved mere komplicerede funktioner kan der være flere, eller også ingen.

Normal

Normalen er en linje, der går gennem røringspunktet og står vinkelret på tangenten. Hvis tangenten har hældningskoefficienten a, har den vinkelrette linje hældningskoefficienten $-\frac{1}{a}$. Normalens ligning lyder derfor

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Formlen bruger vi kun, når f'(x₀) ≠ 0. Hvis differentialkvotienten er nul, er tangenten vandret, og normalen er den lodrette linje x = x₀.

Lad os vende tilbage til det første eksempel og beregne dets normal, altså til funktionen x² i punktet (1, 1). Tangentens hældningskoefficient var to, så normalens hældningskoefficient er $-\frac{1}{2}$. Vi indsætter:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Vi ganger ind i parentesen:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Vi flytter ettallet over på højre side og lægger brøkerne sammen:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Normalen til grafen for funktionen x² i punktet (1, 1) er altså givet ved ligningen $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.