Tangentens ekvation

En tangent är en rät linje som tangerar grafen till en funktion i en punkt och har samma lutning som grafen där. Nära punkten ligger den så tätt intill grafen att den knappt går att skilja från den. Vi visar det på en parabel, alltså på grafen till funktionen f(x) = x²:

Den röda linjen t är tangenten i punkten T(1, 1). Den grå streckade linjen går genom samma punkt, men den har en annan lutning, och därför skär den grafen och möter den igen en bit bort. Den är alltså ingen tangent.

Uppgiften ser vanligen ut så här: vi har en funktion och en punkt på dess graf och vill ställa upp tangentens ekvation i den punkten, alltså ekvationen för en rät linje på formen y = kx + m. För ekvationen för en linje behöver vi två saker:

• en punkt som linjen går genom,
• riktningskoefficienten k, alltså talet som säger hur mycket linjen lutar.

Punkten är given. Den ligger på grafen, så om dess första koordinat är x₀ är dess andra koordinat f(x₀). Med riktningskoefficienten hjälper derivatan oss: funktionens derivata i en punkt är precis tangentens riktningskoefficient i den punkten. Det återstår att sätta ihop linjens ekvation av punkten och riktningskoefficienten.

Linje given av en punkt och riktningskoefficient

En linje som har riktningskoefficienten k och går genom punkten (x₀, y₀) har ekvationen

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

Det går att kontrollera direkt: när du sätter in x₀ för x blir högerledet noll, så y = y₀ och punkten ligger på linjen. Och talet framför parentesen är riktningskoefficienten, eftersom vi efter att ha multiplicerat in i parentesen får linjens ekvation på k-form y = kx + m med k på rätt plats.

För tangenten sätter vi in y₀ = f(x₀) för tangeringspunkten och derivatan k = f'(x₀) för riktningskoefficienten.

Formel

Om du bara söker formeln skriver du tangenten till grafen av funktionen f i punkten (x₀, f(x₀)) som

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

där x₀ är tangeringspunktens första koordinat och f'(x₀) är derivatan av funktionen f i den punkten. Formeln förutsätter att derivatan i punkten x₀ existerar, annars kan vi inte ställa upp tangenten på det här sättet.

Hela tillvägagångssättet har alltså tre steg:

1. vi beräknar f(x₀),
2. vi deriverar funktionen och beräknar f'(x₀),
3. vi sätter in båda talen i formeln och förenklar.

Exempel

Vi ställer upp ekvationen för tangenten till grafen av funktionen f(x) = x² i punkten x₀ = 1, alltså den röda tangenten från figuren i början av artikeln.

Vi börjar med funktionsvärdet i punkten x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Tangeringspunkten ligger alltså i (1, 1). Sedan kommer derivatan, enligt formlerna för derivering gäller (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

I derivatan sätter vi in x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Tangentens riktningskoefficient är två. Vi sätter in båda talen i formeln:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Vi multiplicerar in i parentesen:

$$y-1=2x-2$$

Det återstår att få y ensamt, så vi flyttar ettan åt höger:

$$y=2x-1$$

Tangenten till grafen av funktionen x² i punkten (1, 1) har ekvationen y = 2x − 1. Kontroll att tangenten verkligen går genom tangeringspunkten: 2 · 1 − 1 = 1. Det stämmer.

Ett vanligt fel är att sätta in x₀ i den ursprungliga funktionen också där derivatan ska stå, och skriva y − 1 = 1 · (x − 1). Då får vi visserligen en linje som går genom punkten, men den har fel lutning, och därför skär den grafen. Det är just den grå streckade linjen y = x från figuren i början.

Tangent parallell med en linje

Ibland är tangeringspunkten inte given, och då måste vi hitta den själva. Ett typiskt problem lyder: bestäm tangenten till grafen av funktionen

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

som är parallell med linjen y = 2x − 7.

Linjen y = 2x − 7 är inte själv någon tangent, den har till och med inga gemensamma punkter med parabeln. Om vi sätter de båda ekvationerna lika får vi x² − 6x + 12 = 0, och den här andragradsekvationen saknar reella lösningar, eftersom diskriminanten blir 36 − 48 = −12. Linjen måste därför flyttas så långt att den bara precis rör vid parabeln.

Parallella linjer har samma riktningskoefficient, så den sökta tangenten måste ha riktningskoefficienten två, precis som linjen y = 2x − 7. Vi söker alltså en punkt där derivatan är lika med två. Vi deriverar:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Vi sätter derivatan lika med två och löser en linjär ekvation:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Tangeringspunktens första koordinat är x₀ = 3. Den andra koordinaten får vi från funktionen:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Vi har tangeringspunkten T(3, 2) och riktningskoefficienten två, så vi kan skriva:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Efter att ha multiplicerat in i parentesen och flyttat tvåan åt höger får vi:

$$y=2x-4$$

Den sökta tangenten har ekvationen y = 2x − 4. I figuren ser du parabeln i svart, den givna linjen p i blått, tangenten t i rött och tangeringspunkten T i orange.

Om den givna linjen hade en annan riktningskoefficient skulle tillvägagångssättet vara precis detsamma, vi skulle bara sätta derivatan lika med ett annat tal. För en parabel får vi alltid precis en tangeringspunkt, för mer komplicerade funktioner kan det finnas flera, eller också ingen alls.

Normal

En normal är en linje som går genom tangeringspunkten och är vinkelrät mot tangenten. Om tangenten har riktningskoefficienten k har den vinkelräta linjen riktningskoefficienten $-\frac{1}{k}$. Normalens ekvation lyder alltså

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Formeln använder vi bara när f'(x₀) ≠ 0. Om derivatan är noll är tangenten vågrät och normalen är den lodräta linjen x = x₀.

Vi återvänder till det första exemplet och beräknar dess normal, alltså för funktionen x² i punkten (1, 1). Tangentens riktningskoefficient var två, så normalens riktningskoefficient är $-\frac{1}{2}$. Vi sätter in:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Vi multiplicerar in i parentesen:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Vi flyttar ettan till högra sidan och adderar bråken:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Normalen till grafen av funktionen x² i punkten (1, 1) ges alltså av ekvationen $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.