Ecuația tangentei

Tangenta este dreapta care atinge graficul unei funcții într-un singur punct și are în el aceeași înclinare ca graficul. În apropierea acelui punct se lipește de grafic atât de strâns, încât abia se mai poate deosebi de el. Să vedem asta pe parabolă, adică pe graficul funcției f(x) = x²:

Dreapta roșie t este tangenta în punctul T(1, 1). Dreapta gri întreruptă trece prin același punct, dar are altă pantă, și de aceea taie graficul și ceva mai încolo se întâlnește cu el din nou. Deci nu este tangentă.

Problema arată de obicei așa: avem o funcție și un punct de pe graficul ei și vrem să scriem ecuația tangentei în acel punct, adică ecuația unei drepte de forma y = mx + n. Pentru ecuația unei drepte avem nevoie de două lucruri:

• un punct prin care trece dreapta,
• panta m, adică numărul care arată cât de înclinată este dreapta.

Punctul îl avem dat. Se află pe grafic, deci dacă prima lui coordonată este x₀, a doua este f(x₀). Cu panta ne ajută derivata: derivata unei funcții într-un punct este exact panta tangentei în acel punct. Rămâne să alcătuim din punct și pantă ecuația dreptei.

Dreapta dată printr-un punct și pantă

Dreapta care are panta m și trece prin punctul (x₀, y₀) are ecuația

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

Se poate verifica imediat: când înlocuiești x cu x₀, partea dreaptă este zero, deci y = y₀ și punctul se află pe dreaptă. Iar numărul din fața parantezei este panta, pentru că după desfacerea parantezei obținem ecuația dreptei cu pantă y = mx + n, cu m la locul potrivit.

La tangentă înlocuim pentru punctul de tangență y₀ = f(x₀), iar pentru pantă derivata, m = f'(x₀).

Formula

Dacă ai nevoie doar de formulă, tangenta la graficul funcției f în punctul (x₀, f(x₀)) se scrie

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

unde x₀ este prima coordonată a punctului de tangență, iar f'(x₀) este derivata funcției f în acest punct. Formula presupune că derivata în punctul x₀ există, altfel tangenta nu o putem scrie în acest mod.

Procedeul are așadar trei pași:

1. calculăm f(x₀),
2. derivăm funcția și calculăm f'(x₀),
3. înlocuim ambele numere în formulă și simplificăm.

Exemplu

Vom scrie ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x² în punctul x₀ = 1, adică a acelei tangente roșii din figura de la începutul articolului.

Începem cu valoarea funcției în punctul x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Punctul de tangență se află deci în (1, 1). Apoi urmează derivata; conform formulelor pentru derivate avem (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

În derivată înlocuim x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Panta tangentei este doi. Înlocuim ambele numere în formulă:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Desfacem paranteza:

$$y-1=2x-2$$

Rămâne să-l exprimăm pe y, așa că îl mutăm pe unu în partea dreaptă:

$$y=2x-1$$

Tangenta la graficul funcției x² în punctul (1, 1) are ecuația y = 2x − 1. Verificăm că tangenta trece într-adevăr prin punctul de tangență: 2 · 1 − 1 = 1. Se potrivește.

O greșeală frecventă este să înlocuiești x₀ în funcția inițială și acolo unde trebuie să fie derivata, și să scrii y − 1 = 1 · (x − 1). Iese, ce-i drept, o dreaptă care trece prin punct, dar are o pantă greșită, și de aceea taie graficul. Este chiar dreapta gri întreruptă y = x din figura de la începutul articolului.

Tangenta paralelă cu o dreaptă

Uneori însă punctul de tangență nu ni-l dă nimeni și trebuie să-l găsim singuri. Enunțul tipic sună așa: găsește tangenta la graficul funcției

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

care este paralelă cu dreapta y = 2x − 7.

Dreapta y = 2x − 7 nu este ea însăși tangentă, cu parabola nu are nici măcar un punct comun. Dacă egalăm cele două ecuații, obținem x² − 6x + 12 = 0, iar această ecuație de gradul al doilea nu are soluții, deoarece discriminantul iese Δ= 36 − 48 = −12. Trebuie deci să deplasăm dreapta astfel încât doar să atingă parabola.

Dreptele paralele au pante egale, așa că tangenta căutată trebuie să aibă panta doi, la fel ca dreapta y = 2x − 7. Căutăm deci punctul în care derivata este egală cu doi. Derivăm:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Egalăm derivata cu doi și rezolvăm ecuația de gradul întâi:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Prima coordonată a punctului de tangență este x₀ = 3. A doua o obținem din funcție:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Avem punctul de tangență T(3, 2) și panta doi, așa că putem scrie:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

După desfacerea parantezei și mutarea lui doi în partea dreaptă rezultă:

$$y=2x-4$$

Tangenta căutată are ecuația y = 2x − 4. În figură vezi parabola cu negru, dreapta dată p cu albastru, tangenta t cu roșu și punctul de tangență T cu portocaliu.

Dacă dreapta dată ar avea altă pantă, procedeul ar fi exact la fel, doar că am egala derivata cu un alt număr. La parabolă iese întotdeauna exact un punct de tangență, la funcțiile mai complicate pot fi mai multe, sau chiar niciunul.

Normala

Normala este dreapta care trece prin punctul de tangență și este perpendiculară pe tangentă. Dacă tangenta are panta m, dreapta perpendiculară pe ea are panta $-\frac{1}{m}$. Ecuația normalei este deci

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Formula o folosim doar atunci când f'(x₀) ≠ 0. Dacă derivata este zero, tangenta este orizontală, iar normala este dreapta verticală x = x₀.

Să ne întoarcem la primul exemplu și să calculăm și normala lui, adică pentru funcția x² în punctul (1, 1). Panta tangentei era doi, deci panta normalei este $-\frac{1}{2}$. Înlocuim:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Desfacem paranteza:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Îl mutăm pe unu în partea dreaptă și adunăm fracțiile:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Normala la graficul funcției x² în punctul (1, 1) este deci dată de ecuația $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.