Ecuación de la recta tangente

Una tangente es una recta que toca la gráfica de una función en un punto y tiene en él la misma inclinación que la gráfica. Cerca de ese punto se pega tanto a la gráfica que casi no se distingue de ella. Veámoslo en la parábola, es decir, en la gráfica de la función f(x) = x²:

La recta roja t es la tangente en el punto T(1, 1). La recta gris discontinua pasa por el mismo punto, pero tiene otra pendiente y por eso corta a la gráfica y un poco más allá se encuentra con ella otra vez. Así que no es tangente.

El problema suele plantearse así: tenemos una función y un punto de su gráfica, y queremos escribir la ecuación de la tangente en ese punto, es decir, la ecuación de una recta de la forma y = mx + n. Para la ecuación de una recta necesitamos dos cosas:

• un punto por el que pasa la recta,
• la pendiente m, es decir, el número que dice cuánto está inclinada la recta.

El punto lo tenemos dado. Está en la gráfica, así que si su primera coordenada es x₀, la segunda es f(x₀). Con la pendiente nos ayuda la derivada: la derivada de una función en un punto es justamente la pendiente de la tangente en ese punto. Falta construir con el punto y la pendiente la ecuación de la recta.

Recta dada por un punto y la pendiente

Una recta que tiene pendiente m y pasa por el punto (x₀, y₀) tiene la ecuación

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

Se puede comprobar enseguida: si sustituyes x por x₀, el lado derecho vale cero, así que y = y₀ y el punto está en la recta. Y el número que multiplica al paréntesis es la pendiente, porque al quitar el paréntesis obtenemos la ecuación explícita de la recta y = mx + n con m en el lugar correcto.

En la tangente ponemos y₀ = f(x₀) para el punto de tangencia y la derivada para la pendiente, m = f'(x₀).

Fórmula

Si solo buscas la fórmula, la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (x₀, f(x₀)) se escribe

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

donde x₀ es la primera coordenada del punto de tangencia y f'(x₀) es la derivada de la función f en ese punto. La fórmula supone que la derivada en el punto x₀ existe; si no, de esta manera no podemos escribir la tangente.

El procedimiento completo tiene, pues, tres pasos:

1. calculamos f(x₀),
2. derivamos la función y calculamos f'(x₀),
3. sustituimos los dos números en la fórmula y simplificamos.

Ejemplo

Vamos a escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 1, es decir, la tangente roja de la figura del principio del artículo.

Empezamos por el valor de la función en el punto x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Así que el punto de tangencia está en (1, 1). Después viene la derivada; según las fórmulas de derivación, (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

En la derivada ponemos x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

La pendiente de la tangente es dos. Sustituimos ambos números en la fórmula:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Quitamos el paréntesis:

$$y-1=2x-2$$

Falta despejar y, así que pasamos el uno al lado derecho:

$$y=2x-1$$

La recta tangente a la gráfica de la función x² en el punto (1, 1) tiene la ecuación y = 2x − 1. Comprobación de que la tangente pasa de verdad por el punto de tangencia: 2 · 1 − 1 = 1. Cuadra.

Un error frecuente es sustituir x₀ en la función original también donde debería ir la derivada, y escribir y − 1 = 1 · (x − 1). Sale una recta que pasa por el punto, sí, pero tiene una pendiente equivocada y por eso corta a la gráfica. Es justamente la recta gris discontinua y = x de la figura inicial.

Tangente paralela a una recta

A veces nadie nos da el punto de tangencia y tenemos que encontrarlo nosotros. El enunciado típico dice: halla la recta tangente a la gráfica de la función

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

que sea paralela a la recta y = 2x − 7.

La recta y = 2x − 7 no es tangente; es más, no tiene ningún punto en común con la parábola. Si igualamos las dos ecuaciones, obtenemos x² − 6x + 12 = 0, y esta ecuación de segundo grado no tiene solución, porque el discriminante es 36 − 48 = −12. Por eso tenemos que desplazar la recta hasta que solo toque la parábola.

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que la tangente que buscamos debe tener pendiente dos, igual que la recta y = 2x − 7. Buscamos, por tanto, un punto en el que la derivada sea igual a dos. Derivamos:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Igualamos la derivada a dos y resolvemos la ecuación de primer grado:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

La primera coordenada del punto de tangencia es x₀ = 3. La segunda la obtenemos de la función:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Tenemos el punto de tangencia T(3, 2) y la pendiente dos, así que podemos escribir:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Después de quitar el paréntesis y pasar el dos a la derecha, sale:

$$y=2x-4$$

La tangente que buscamos tiene la ecuación y = 2x − 4. En la figura ves la parábola en negro, la recta dada p en azul, la tangente t en rojo y el punto de tangencia T en naranja.

Si la recta dada tuviera otra pendiente, el procedimiento sería exactamente el mismo; solo igualaríamos la derivada a otro número. En una parábola siempre sale exactamente un punto de tangencia; en funciones más complicadas puede haber más, o también puede no haber ninguno.

Normal

La normal es la recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la tangente. Si la tangente tiene pendiente m, la recta perpendicular tiene pendiente $-\frac{1}{m}$. La ecuación de la normal es, pues,

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

La fórmula solo la usamos cuando f'(x₀) ≠ 0. Si la derivada es cero, la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical x = x₀.

Volvamos al primer ejemplo y calculemos su normal, es decir, la de la función x² en el punto (1, 1). La pendiente de la tangente era dos, así que la pendiente de la normal es $-\frac{1}{2}$. Sustituimos:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Quitamos el paréntesis:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Pasamos el uno al lado derecho y sumamos las fracciones:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

La normal a la gráfica de la función x² en el punto (1, 1) viene dada, por tanto, por la ecuación $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.