Vergelijking van de raaklijn

Een raaklijn is een lijn die de grafiek van een functie in één punt raakt en daar dezelfde helling heeft als de grafiek. In de buurt van dat punt sluit ze zich zo strak aan bij de grafiek dat je ze er bijna niet van kunt onderscheiden. We laten het zien aan een parabool, dus aan de grafiek van de functie f(x) = x²:

De rode lijn t is de raaklijn in het punt T(1, 1). De grijze stippellijn gaat door hetzelfde punt, maar heeft een andere helling en snijdt de grafiek daarom en ontmoet hem een eindje verderop opnieuw. Het is dus geen raaklijn.

De opgave ziet er meestal zo uit: we hebben een functie en een punt op haar grafiek en willen de vergelijking van de raaklijn in dit punt opstellen, dus de vergelijking van een lijn van de vorm y = ax + b. Voor de vergelijking van een lijn hebben we twee dingen nodig:

• een punt waar de lijn doorheen gaat,
• de richtingscoëfficiënt a, dus het getal dat zegt hoe steil de lijn is.

Het punt is gegeven. Het ligt op de grafiek, dus als de eerste coördinaat x₀ is, is de tweede coördinaat f(x₀). Met de richtingscoëfficiënt helpt de afgeleide ons: de afgeleide van een functie in een punt is precies de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt. Nu moeten we uit het punt en de richtingscoëfficiënt nog de vergelijking van de lijn samenstellen.

Lijn door een punt met gegeven richtingscoëfficiënt

Een lijn met richtingscoëfficiënt a die door het punt (x₀, y₀) gaat, heeft de vergelijking

$$y-y_0=a\cdot (x-x_0).$$

Dat kun je meteen controleren: als je voor x de waarde x₀ invult, is de rechterkant nul, dus y = y₀ en ligt het punt op de lijn. En het getal voor het haakje is de richtingscoëfficiënt, want na het uitwerken krijgen we de vergelijking van een lijn in de vorm y = ax + b met a op de juiste plek.

Bij de raaklijn vullen we voor het raakpunt y₀ = f(x₀) in en voor de richtingscoëfficiënt de afgeleide, a = f'(x₀).

Formule

Als je alleen de formule zoekt, dan schrijf je de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (x₀, f(x₀)) op als

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

waarbij x₀ de eerste coördinaat van het raakpunt is en f'(x₀) de afgeleide van de functie f in dit punt. De formule gaat ervan uit dat de afgeleide in het punt x₀ bestaat, anders kunnen we de raaklijn op deze manier niet opstellen.

De hele werkwijze heeft dus drie stappen:

1. we berekenen f(x₀),
2. we differentiëren de functie en berekenen f'(x₀),
3. we vullen beide getallen in de formule in en herleiden.

Voorbeeld

We stellen de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functie f(x) = x² in het punt x₀ = 1, dus van die rode raaklijn uit het plaatje aan het begin van het artikel.

We beginnen met de waarde van de functie in het punt x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Het raakpunt is dus (1, 1). Dan is de afgeleide aan de beurt, volgens de formules voor afgeleiden geldt (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

In de afgeleide vullen we x₀ = 1 in:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is twee. Beide getallen vullen we in de formule in:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

We werken het haakje uit:

$$y-1=2x-2$$

Nu moeten we nog y vrijmaken, dus we brengen de één naar rechts:

$$y=2x-1$$

De raaklijn aan de grafiek van de functie x² in het punt (1, 1) heeft de vergelijking y = 2x − 1. Controle dat de raaklijn echt door het raakpunt gaat: 2 · 1 − 1 = 1. Klopt.

Een veelgemaakte fout is om x₀ ook daar in de oorspronkelijke functie in te vullen waar de afgeleide moet staan, en y − 1 = 1 · (x − 1) op te schrijven. Je krijgt dan weliswaar een lijn die door het punt gaat, maar die heeft een verkeerde helling en snijdt de grafiek daarom. Het is precies die grijze stippellijn y = x uit het plaatje in de inleiding.

Raaklijn evenwijdig aan een lijn

Soms geeft niemand het raakpunt en moeten we het zelf opsporen. Een typische opgave luidt: bepaal de raaklijn aan de grafiek van de functie

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

die evenwijdig is aan de lijn y = 2x − 7.

De lijn y = 2x − 7 is zelf geen raaklijn, ze heeft met de parabool zelfs geen enkel gemeenschappelijk punt. Als we beide vergelijkingen aan elkaar gelijkstellen, krijgen we x² − 6x + 12 = 0 en deze kwadratische vergelijking heeft geen oplossing, want de discriminant is 36 − 48 = −12. We moeten de lijn dus zover verschuiven dat ze de parabool net raakt.

Evenwijdige lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, dus de gezochte raaklijn moet richtingscoëfficiënt twee hebben, net als de lijn y = 2x − 7. We zoeken dus een punt waarin de afgeleide gelijk is aan twee. We differentiëren:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

We stellen de afgeleide gelijk aan twee en lossen de lineaire vergelijking op:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

De eerste coördinaat van het raakpunt is x₀ = 3. De tweede krijgen we uit de functie:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

We hebben het raakpunt T(3, 2) en de richtingscoëfficiënt twee, dus we kunnen schrijven:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Na het uitwerken en het naar rechts brengen van de twee krijgen we:

$$y=2x-4$$

De gezochte raaklijn heeft de vergelijking y = 2x − 4. In het plaatje zie je de parabool in zwart, de gegeven lijn p in blauw, de raaklijn t in rood en het raakpunt T in oranje.

Als de gegeven lijn een andere richtingscoëfficiënt had, zou de werkwijze precies hetzelfde zijn, we zouden de afgeleide alleen aan een ander getal gelijkstellen. Bij een parabool krijg je altijd precies één raakpunt, bij ingewikkelder functies kunnen het er meer zijn, of ook geen enkel.

Normaal

De normaal is de lijn die door het raakpunt gaat en loodrecht op de raaklijn staat. Als de raaklijn richtingscoëfficiënt a heeft, heeft de loodrechte lijn richtingscoëfficiënt $-\frac{1}{a}$. De vergelijking van de normaal luidt dus

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

De formule gebruiken we alleen als f'(x₀) ≠ 0. Als de afgeleide nul is, is de raaklijn horizontaal en is de normaal de verticale lijn x = x₀.

We gaan terug naar het eerste voorbeeld en berekenen de normaal ervan, dus bij de functie x² in het punt (1, 1). De richtingscoëfficiënt van de raaklijn was twee, de richtingscoëfficiënt van de normaal is daarom $-\frac{1}{2}$. We vullen in:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

We werken uit:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

We brengen de één naar de rechterkant en tellen de breuken op:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

De normaal van de grafiek van de functie x² in het punt (1, 1) wordt dus gegeven door de vergelijking $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.