Рівняння дотичної

Дотична — це пряма, яка торкається графіка функції в одній точці й має в ній такий самий нахил, як і графік. Поблизу цієї точки вона так щільно прилягає до графіка, що їх майже не відрізнити. Покажімо це на параболі, тобто на графіку функції f(x) = x²:

Червона пряма t — це дотична в точці T(1; 1). Сіра пунктирна пряма проходить через ту саму точку, але має інший нахил, а тому перетинає графік і трохи далі зустрічається з ним ще раз. Отже, дотичною вона не є.

Завдання зазвичай виглядає так: маємо функцію й точку на її графіку та хочемо записати рівняння дотичної в цій точці, тобто рівняння прямої у вигляді y = kx + b. Для рівняння прямої потрібні дві речі:

• точка, через яку пряма проходить,
• кутовий коефіцієнт k, тобто число, яке показує, наскільки сильно пряма нахилена.

Точку нам задано. Вона лежить на графіку, тож якщо її перша координата x₀, то друга координата — f(x₀). З кутовим коефіцієнтом нам допоможе похідна: похідна функції в точці — це саме кутовий коефіцієнт дотичної в цій точці. Лишається скласти з точки й кутового коефіцієнта рівняння прямої.

Пряма, задана точкою й кутовим коефіцієнтом

Пряма, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку (x₀; y₀), має рівняння

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

Це можна одразу перевірити: коли замість x підставиш x₀, права частина дорівнює нулю, тож y = y₀ і точка лежить на прямій. А число перед дужкою — це кутовий коефіцієнт, бо після розкриття дужок отримаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = kx + b, де k стоїть на правильному місці.

Для дотичної підставляємо за точку дотику y₀ = f(x₀), а за кутовий коефіцієнт — похідну, k = f'(x₀).

Формула

Якщо тобі потрібна лише формула, то дотичну до графіка функції f у точці (x₀; f(x₀)) запишеш так:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

де x₀ — перша координата точки дотику, а f'(x₀) — похідна функції f у цій точці. Формула припускає, що похідна в точці x₀ існує, інакше дотичну таким способом не запишемо.

Увесь порядок дій складається з трьох кроків:

1. обчислюємо f(x₀),
2. знаходимо похідну функції й обчислюємо f'(x₀),
3. обидва числа підставляємо у формулу й спрощуємо.

Приклад

Запишемо рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x² у точці x₀ = 1, тобто тієї червоної дотичної з рисунка на початку статті.

Почнемо зі значення функції в точці x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Отже, точка дотику лежить у (1; 1). Далі настає черга похідної, за формулами для похідних маємо (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

У похідну підставляємо x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює двом. Обидва числа підставляємо у формулу:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Розкриваємо дужки:

$$y-1=2x-2$$

Лишається виразити y, тож одиницю переносимо вправо:

$$y=2x-1$$

Дотична до графіка функції x² у точці (1; 1) має рівняння y = 2x − 1. Перевірка, що дотична справді проходить через точку дотику: 2 · 1 − 1 = 1. Збігається.

Часта помилка — підставити x₀ в початкову функцію і там, де має бути похідна, та записати y − 1 = 1 · (x − 1). Вийде, щоправда, пряма, що проходить через цю точку, але вона має неправильний нахил, а тому перетне графік. Це саме та сіра пунктирна пряма y = x з рисунка на початку статті.

Дотична, паралельна прямій

Іноді ж точку дотику ніхто не задає, і її доводиться шукати самим. Типове завдання звучить так: знайди дотичну до графіка функції

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

яка паралельна прямій y = 2x − 7.

Сама пряма y = 2x − 7 дотичною не є, із параболою вона навіть не має жодної спільної точки. Коли обидва рівняння прирівняти, отримаємо x² − 6x + 12 = 0, а це квадратне рівняння не має розв'язків, бо дискримінант дорівнює D = 36 − 48 = −12. Тому пряму треба посунути настільки, щоб вона лише торкнулася параболи.

Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти, тож шукана дотична повинна мати кутовий коефіцієнт два, так само як і пряма y = 2x − 7. Отже, шукаємо точку, у якій похідна дорівнює двом. Знаходимо похідну:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Прирівнюємо похідну до двох і розв'язуємо лінійне рівняння:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Перша координата точки дотику — x₀ = 3. Другу отримаємо з функції:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Маємо точку дотику T(3; 2) і кутовий коефіцієнт два, тож можемо записати:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Після розкриття дужок і перенесення двійки вправо вийде:

$$y=2x-4$$

Шукана дотична має рівняння y = 2x − 4. На рисунку ти бачиш параболу чорним кольором, задану пряму p синім, дотичну t червоним і точку дотику T помаранчевим.

Якби задана пряма мала інший кутовий коефіцієнт, порядок дій був би цілком такий самий, тільки похідну ми б прирівняли до іншого числа. У параболи завжди виходить рівно одна точка дотику, а в складніших функцій їх може бути більше, а може не бути зовсім.

Нормаль

Нормаль — це пряма, яка проходить через точку дотику й перпендикулярна до дотичної. Якщо дотична має кутовий коефіцієнт k, то перпендикулярна до неї пряма має кутовий коефіцієнт $-\frac{1}{k}$. Отже, рівняння нормалі таке:

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Формулу використовуємо лише тоді, коли f'(x₀) ≠ 0. Якщо похідна дорівнює нулю, дотична горизонтальна, а нормаль — вертикальна пряма x = x₀.

Повернімося до першого прикладу й дорахуймо його нормаль, тобто для функції x² у точці (1; 1). Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнював двом, тому кутовий коефіцієнт нормалі — $-\frac{1}{2}$. Підставляємо:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Розкриваємо дужки:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Одиницю переносимо в праву частину й додаємо дроби:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Нормаль до графіка функції x² у точці (1; 1) задається рівнянням $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.