Équation de la tangente

La tangente est une droite qui touche la courbe d’une fonction en un seul point et qui a en ce point la même pente que la courbe. Au voisinage de ce point, elle épouse la courbe de si près qu’on les distingue à peine. Voyons-le sur la parabole, c’est-à-dire sur la courbe représentative de la fonction f(x) = x² :

La droite rouge t est la tangente au point T(1 ; 1). La droite grise en pointillés passe par le même point, mais elle a une autre pente ; elle coupe donc la courbe et la rencontre de nouveau un peu plus loin. Ce n’est donc pas une tangente.

Le problème se présente en général ainsi : on a une fonction et un point de sa courbe, et on veut écrire l’équation de la tangente en ce point, c’est-à-dire l’équation d’une droite sous la forme y = mx + p. Pour l’équation d’une droite, il nous faut deux choses :

• un point par lequel la droite passe,
• le coefficient directeur m, c’est-à-dire le nombre qui dit de combien la droite est inclinée.

Le point est donné. Il est sur la courbe, donc si son abscisse est x₀, son ordonnée est f(x₀). Pour le coefficient directeur, la dérivée nous aide : le nombre dérivé de la fonction en un point est exactement le coefficient directeur de la tangente en ce point. Il reste à construire l’équation de la droite à partir du point et du coefficient directeur.

Droite donnée par un point et un coefficient directeur

La droite qui a pour coefficient directeur m et qui passe par le point (x₀ ; y₀) a pour équation

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

On peut le vérifier tout de suite : quand tu remplaces x par x₀, le membre de droite est nul, donc y = y₀ et le point est bien sur la droite. Et le nombre devant la parenthèse est le coefficient directeur, car en développant on obtient l’équation réduite d’une droite y = mx + p avec m à la bonne place.

Pour la tangente, nous prenons pour le point de contact y₀ = f(x₀) et pour coefficient directeur le nombre dérivé, m = f'(x₀).

Formule

Si tu cherches seulement la formule, la tangente à la courbe de la fonction f au point (x₀ ; f(x₀)) s’écrit

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

où x₀ est l’abscisse du point de contact et f'(x₀) est le nombre dérivé de la fonction f en ce point. La formule suppose que la dérivée en x₀ existe ; sinon, nous ne pouvons pas écrire la tangente de cette façon.

La marche à suivre comporte donc trois étapes :

1. nous calculons f(x₀),
2. nous dérivons la fonction et nous calculons f'(x₀),
3. nous reportons les deux nombres dans la formule et nous simplifions.

Exemple

Écrivons l’équation de la tangente à la courbe de la fonction f(x) = x² au point d’abscisse x₀ = 1, c’est-à-dire cette tangente rouge de l’image au début de l’article.

Commençons par la valeur de la fonction en x₀ :

$$f(1)=1^2=1$$

Le point de contact est donc (1 ; 1). Vient ensuite la dérivée ; d’après les formules de dérivation, on a (x²)' = 2x :

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Dans la dérivée, nous remplaçons x par x₀ = 1 :

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Le coefficient directeur de la tangente est deux. Nous reportons les deux nombres dans la formule :

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Nous développons la parenthèse :

$$y-1=2x-2$$

Il reste à isoler y, donc nous faisons passer le un à droite :

$$y=2x-1$$

La tangente à la courbe de la fonction x² au point (1 ; 1) a pour équation y = 2x − 1. Vérification que la tangente passe bien par le point de contact : 2 · 1 − 1 = 1. C’est bon.

Une erreur fréquente consiste à calculer avec la fonction d’origine en x₀, même là où il faut la dérivée, et d’écrire y − 1 = 1 · (x − 1). On obtient certes une droite qui passe par le point, mais elle a une mauvaise pente et coupe donc la courbe. C’est justement la droite grise en pointillés y = x de l’image d’introduction.

Tangente parallèle à une droite

Parfois, personne ne donne le point de contact et il faut le trouver soi-même. L’énoncé typique est : trouve la tangente à la courbe de la fonction

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

qui est parallèle à la droite y = 2x − 7.

La droite y = 2x − 7 n’est pas elle-même une tangente, elle n’a même aucun point commun avec la parabole. Si nous égalons les deux équations, nous obtenons x² − 6x + 12 = 0, et cette équation du second degré n’a pas de solution, car le discriminant vaut 36 − 48 = −12. Il faut donc déplacer la droite jusqu’à ce qu’elle ne fasse que toucher la parabole.

Des droites parallèles ont le même coefficient directeur, donc la tangente cherchée doit avoir pour coefficient directeur deux, comme la droite y = 2x − 7. Nous cherchons donc un point où la dérivée est égale à deux. Dérivons :

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Posons la dérivée égale à deux et résolvons l’équation du premier degré :

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

L’abscisse du point de contact est x₀ = 3. L’ordonnée, nous l’obtenons à partir de la fonction :

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Nous avons le point de contact T(3 ; 2) et le coefficient directeur deux, nous pouvons donc écrire :

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Après développement et passage du deux à droite, on obtient :

$$y=2x-4$$

La tangente cherchée a pour équation y = 2x − 4. Sur l’image, tu vois la parabole en noir, la droite donnée p en bleu, la tangente t en rouge et le point de contact T en orange.

Si la droite donnée avait un autre coefficient directeur, la démarche serait exactement la même, nous poserions seulement la dérivée égale à un autre nombre. Pour une parabole, on obtient toujours exactement un point de contact ; pour des fonctions plus compliquées, il peut y en avoir plusieurs, ou même aucun.

Normale

La normale est la droite qui passe par le point de contact et qui est perpendiculaire à la tangente. Si la tangente a pour coefficient directeur m, la droite perpendiculaire a pour coefficient directeur $-\frac{1}{m}$. L’équation de la normale s’écrit donc

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Nous n’utilisons la formule que si f'(x₀) ≠ 0. Si la dérivée est nulle, la tangente est horizontale et la normale est la droite verticale x = x₀.

Revenons au premier exemple et calculons sa normale, c’est-à-dire pour la fonction x² au point (1 ; 1). Le coefficient directeur de la tangente était deux, celui de la normale est donc $-\frac{1}{2}$. Nous reportons dans la formule :

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Nous développons :

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Nous faisons passer le un du côté droit et nous additionnons les fractions :

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

La normale à la courbe de la fonction x² au point (1 ; 1) est donc donnée par l’équation $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.