Rovnice tečny

Tečna je přímka, která se grafu funkce v jednom bodě dotkne a má v něm stejný sklon jako graf. V blízkosti toho bodu se ke grafu přimkne tak těsně, že od něj skoro nejde odlišit. Ukažme si to na parabole, tedy na grafu funkce f(x) = x²:

Červená přímka t je tečna v bodě T[1, 1]. Šedá čárkovaná přímka prochází stejným bodem, jenže má jiný sklon, a proto graf protne a o kus vedle se s ním potká znovu. Tečnou tedy není.

Úloha obvykle vypadá takto: máme funkci a bod na jejím grafu a chceme napsat rovnici tečny v tomto bodě, tedy rovnici přímky ve tvaru y = kx + q. K rovnici přímky potřebujeme dvě věci:

• bod, kterým přímka prochází,
• směrnici k, tedy číslo, které říká, jak moc je přímka nakloněná.

Bod máme zadaný. Leží na grafu, takže pokud má první souřadnici x₀, je jeho druhá souřadnice f(x₀). Se směrnicí nám pomůže derivace: derivace funkce v bodě je přesně směrnice tečny v tomto bodě. Zbývá z bodu a směrnice složit rovnici přímky.

Přímka daná bodem a směrnicí

Přímka, která má směrnici k a prochází bodem [x₀, y₀], má rovnici

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

Ověřit se to dá hned: když za x dosadíte x₀, je pravá strana nulová, takže y = y₀ a bod na přímce leží. A číslo před závorkou je směrnice, protože po roznásobení dostaneme směrnicový tvar přímky y = kx + q s k na správném místě.

U tečny dosadíme za bod dotyku y₀ = f(x₀) a za směrnici derivaci, k = f'(x₀).

Vzorec

Pokud hledáte jen vzorec, pak tečnu ke grafu funkce f v bodě [x₀, f(x₀)] zapíšete jako

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

kde x₀ je první souřadnice bodu dotyku a f'(x₀) je derivace funkce f v tomto bodě. Vzorec předpokládá, že derivace v bodě x₀ existuje, jinak tečnu tímhle způsobem nenapíšeme.

Celý postup má tedy tři kroky:

1. spočítáme f(x₀),
2. zderivujeme funkci a spočítáme f'(x₀),
3. obě čísla dosadíme do vzorce a upravíme.

Příklad

Napíšeme rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = x² v bodě x₀ = 1, tedy té červené tečny z obrázku na začátku článku.

Začneme hodnotou funkce v bodě x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Bod dotyku tedy leží v [1, 1]. Pak přijde na řadu derivace, podle vzorců pro derivace platí (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Do derivace vložíme x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Směrnice tečny je dva. Obě čísla dosadíme do vzorce:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Roznásobíme závorku:

$$y-1=2x-2$$

Zbývá osamostatnit y, takže jedničku přehodíme doprava:

$$y=2x-1$$

Tečna ke grafu funkce x² v bodě [1, 1] má rovnici y = 2x − 1. Zkouška, že tečna bodem dotyku opravdu prochází: 2 · 1 − 1 = 1. Sedí.

Častá chyba je dosadit x₀ do původní funkce i tam, kde má být derivace, a napsat y − 1 = 1 · (x − 1). Vyjde sice přímka, která bodem prochází, jenže má špatný sklon, a proto graf protne. Je to právě ta šedá čárkovaná přímka y = x z úvodního obrázku.

Tečna rovnoběžná s přímkou

Občas ale bod dotyku nikdo nezadá a musíme ho vypátrat sami. Typické zadání zní: najděte tečnu ke grafu funkce

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

která je rovnoběžná s přímkou y = 2x − 7.

Přímka y = 2x − 7 sama tečnou není, s parabolou dokonce nemá žádný společný bod. Když obě rovnice položíme do rovnosti, dostaneme x² − 6x + 12 = 0 a tahle kvadratická rovnice nemá řešení, protože diskriminant vyjde 36 − 48 = −12. Přímku proto musíme posunout natolik, aby se paraboly jen dotkla.

Rovnoběžky mají shodnou směrnici, takže hledaná tečna musí mít směrnici dva, stejně jako přímka y = 2x − 7. Hledáme proto bod, ve kterém je derivace rovna dvěma. Zderivujeme:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Položíme derivaci rovnou dvěma a vyřešíme lineární rovnici:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

První souřadnice bodu dotyku je x₀ = 3. Druhou získáme z funkce:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Máme bod dotyku T[3, 2] i směrnici dva, takže můžeme psát:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Po roznásobení a přehození dvojky doprava vyjde:

$$y=2x-4$$

Hledaná tečna má rovnici y = 2x − 4. Na obrázku vidíte parabolu černě, zadanou přímku p modře, tečnu t červeně a bod dotyku T oranžově.

Kdyby zadaná přímka měla jinou směrnici, postup by byl úplně stejný, jen bychom derivaci položili rovnou jinému číslu. U paraboly vyjde vždy právě jeden bod dotyku, u složitějších funkcí jich může být víc, nebo taky žádný.

Normála

Normála je přímka, která prochází bodem dotyku a je na tečnu kolmá. Má-li tečna směrnici k, má kolmá přímka směrnici $-\frac{1}{k}$. Rovnice normály tedy zní

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Vzorec použijeme jen tehdy, když f'(x₀) ≠ 0. Je-li derivace nulová, je tečna vodorovná a normála je svislá přímka x = x₀.

Vraťme se k prvnímu příkladu a dopočítejme jeho normálu, tedy k funkci x² v bodě [1, 1]. Směrnice tečny byla dva, směrnice normály je proto $-\frac{1}{2}$. Dosadíme:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Roznásobíme:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Jedničku přehodíme na pravou stranu a sečteme zlomky:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Normála ke grafu funkce x² v bodě [1, 1] je tedy dána rovnicí $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.