Równanie stycznej

Styczna to prosta, która dotyka wykresu funkcji w jednym punkcie i ma w nim takie samo nachylenie jak wykres. W pobliżu tego punktu przylega do wykresu tak ciasno, że prawie nie da się ich odróżnić. Pokażmy to na paraboli, czyli na wykresie funkcji f(x) = x²:

Czerwona prosta t jest styczną w punkcie T = (1, 1). Szara przerywana prosta przechodzi przez ten sam punkt, ale ma inne nachylenie, i dlatego przecina wykres i kawałek dalej spotyka się z nim jeszcze raz. Styczną więc nie jest.

Zadanie zwykle wygląda tak: mamy funkcję i punkt na jej wykresie i chcemy napisać równanie stycznej w tym punkcie, czyli równanie prostej w postaci y = ax + b. Do równania prostej potrzebujemy dwóch rzeczy:

• punktu, przez który prosta przechodzi,
• współczynnika kierunkowego a, czyli liczby, która mówi, jak bardzo prosta jest nachylona.

Punkt mamy dany. Leży na wykresie, więc jeśli ma pierwszą współrzędną x₀, jego druga współrzędna to f(x₀). Ze współczynnikiem kierunkowym pomoże nam pochodna: pochodna funkcji w punkcie to dokładnie współczynnik kierunkowy stycznej w tym punkcie. Zostaje ułożyć z punktu i współczynnika kierunkowego równanie prostej.

Prosta dana punktem i współczynnikiem kierunkowym

Prosta, która ma współczynnik kierunkowy a i przechodzi przez punkt (x₀, y₀), ma równanie

$$y-y_0=a\cdot (x-x_0).$$

Można to od razu sprawdzić: kiedy za x podstawisz x₀, prawa strona jest równa zero, więc y = y₀ i punkt leży na prostej. A liczba przed nawiasem jest współczynnikiem kierunkowym, bo po wymnożeniu dostaniemy równanie kierunkowe prostej y = ax + b z a we właściwym miejscu.

W przypadku stycznej podstawiamy za punkt styczności y₀ = f(x₀), a za współczynnik kierunkowy pochodną, a = f'(x₀).

Wzór

Jeśli szukasz tylko wzoru, to styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, f(x₀)) zapiszesz jako

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

gdzie x₀ jest pierwszą współrzędną punktu styczności, a f'(x₀) jest pochodną funkcji f w tym punkcie. Wzór zakłada, że pochodna w punkcie x₀ istnieje, w przeciwnym razie stycznej w ten sposób nie napiszemy.

Całe postępowanie ma więc trzy kroki:

1. obliczamy f(x₀),
2. różniczkujemy funkcję i obliczamy f'(x₀),
3. obie liczby podstawiamy do wzoru i upraszczamy.

Przykład

Napiszemy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² w punkcie x₀ = 1, czyli tej czerwonej stycznej z rysunku na początku artykułu.

Zaczniemy od wartości funkcji w punkcie x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Punkt styczności leży więc w (1, 1). Potem przychodzi kolej na pochodną, według wzorów na pochodne mamy (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Do pochodnej wstawiamy x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi dwa. Obie liczby podstawiamy do wzoru:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Wymnażamy nawias:

$$y-1=2x-2$$

Zostaje wyznaczyć y, więc jedynkę przenosimy na prawą stronę:

$$y=2x-1$$

Styczna do wykresu funkcji x² w punkcie (1, 1) ma równanie y = 2x − 1. Sprawdzenie, że styczna rzeczywiście przechodzi przez punkt styczności: 2 · 1 − 1 = 1. Zgadza się.

Częsty błąd to podstawić x₀ do pierwotnej funkcji także tam, gdzie ma być pochodna, i napisać y − 1 = 1 · (x − 1). Wyjdzie wprawdzie prosta, która przechodzi przez ten punkt, ale ma złe nachylenie, i dlatego przetnie wykres. To właśnie ta szara przerywana prosta y = x z rysunku na początku artykułu.

Styczna równoległa do prostej

Czasem jednak nikt nie poda punktu styczności i musimy go znaleźć sami. Typowe zadanie brzmi: znajdź styczną do wykresu funkcji

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

która jest równoległa do prostej y = 2x − 7.

Prosta y = 2x − 7 sama nie jest styczną, z parabolą nie ma nawet żadnego punktu wspólnego. Kiedy oba równania przyrównamy, dostaniemy x² − 6x + 12 = 0, a to równanie kwadratowe nie ma rozwiązania, ponieważ wyróżnik wychodzi Δ= 36 − 48 = −12. Prostą musimy więc przesunąć na tyle, żeby tylko dotknęła paraboli.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc szukana styczna musi mieć współczynnik kierunkowy dwa, tak samo jak prosta y = 2x − 7. Szukamy zatem punktu, w którym pochodna jest równa dwóm. Różniczkujemy:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Przyrównujemy pochodną do dwóch i rozwiązujemy równanie liniowe:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Pierwsza współrzędna punktu styczności to x₀ = 3. Drugą otrzymamy z funkcji:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Mamy punkt styczności T = (3, 2) i współczynnik kierunkowy dwa, więc możemy napisać:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Po wymnożeniu i przeniesieniu dwójki na prawą stronę wyjdzie:

$$y=2x-4$$

Szukana styczna ma równanie y = 2x − 4. Na rysunku widzisz parabolę na czarno, daną prostą p na niebiesko, styczną t na czerwono i punkt styczności T na pomarańczowo.

Gdyby dana prosta miała inny współczynnik kierunkowy, postępowanie byłoby dokładnie takie samo, tylko pochodną przyrównalibyśmy do innej liczby. W przypadku paraboli wychodzi zawsze dokładnie jeden punkt styczności, a przy bardziej skomplikowanych funkcjach może ich być więcej albo też żadnego.

Normalna

Normalna to prosta, która przechodzi przez punkt styczności i jest prostopadła do stycznej. Jeśli styczna ma współczynnik kierunkowy a, to prostopadła do niej prosta ma współczynnik kierunkowy $-\frac{1}{a}$. Równanie normalnej brzmi więc

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Wzoru użyjemy tylko wtedy, gdy f'(x₀) ≠ 0. Jeśli pochodna jest równa zero, styczna jest pozioma, a normalna jest prostą pionową x = x₀.

Wróćmy do pierwszego przykładu i obliczmy jego normalną, czyli dla funkcji x² w punkcie (1, 1). Współczynnik kierunkowy stycznej wynosił dwa, więc współczynnik kierunkowy normalnej wynosi $-\frac{1}{2}$. Podstawiamy:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Wymnażamy:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Jedynkę przenosimy na prawą stronę i dodajemy ułamki:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Normalna do wykresu funkcji x² w punkcie (1, 1) jest więc dana równaniem $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.