Likningen for tangenten

En tangent er en rett linje som berører grafen til en funksjon i ett punkt og har den samme helningen som grafen der. I nærheten av punktet legger den seg så tett inntil grafen at den nesten ikke kan skilles fra den. La oss vise det på parabelen, altså på grafen til funksjonen f(x) = x²:

Den røde linjen t er tangenten i punktet T(1, 1). Den grå stiplede linjen går gjennom det samme punktet, men har en annen helning, og derfor skjærer den grafen og møter den igjen et stykke unna. Den er altså ikke en tangent.

Oppgaven ser vanligvis slik ut: vi har en funksjon og et punkt på grafen, og vi vil skrive likningen for tangenten i dette punktet, altså likningen for en rett linje på formen y = ax + b. For å finne likningen for en rett linje trenger vi to ting:

• et punkt som linjen går gjennom,
• stigningstallet a, altså tallet som sier hvor mye linjen heller.

Punktet har vi fått oppgitt. Det ligger på grafen, så hvis førstekoordinaten er x₀, er andrekoordinaten f(x₀). Med stigningstallet hjelper den deriverte oss: den deriverte til funksjonen i et punkt er nettopp stigningstallet til tangenten i dette punktet. Det gjenstår å sette sammen likningen for linjen av punktet og stigningstallet.

Rett linje gitt ved et punkt og stigningstallet

En rett linje som har stigningstall a og går gjennom punktet (x₀, y₀), har likningen

$$y-y_0=a\cdot (x-x_0).$$

Det kan kontrolleres med en gang: når du setter inn x₀ for x, er høyre side null, så y = y₀ og punktet ligger på linjen. Og tallet foran parentesen er stigningstallet, for når vi ganger ut, får vi likningen for en rett linje på formen y = ax + b med a på riktig plass.

For tangenten setter vi inn y₀ = f(x₀) for tangeringspunktet, og den deriverte for stigningstallet, a = f'(x₀).

Formel

Hvis du bare leter etter formelen, skriver du tangenten til grafen til funksjonen f i punktet (x₀, f(x₀)) som

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

der x₀ er førstekoordinaten til tangeringspunktet og f'(x₀) er den deriverte til funksjonen f i dette punktet. Formelen forutsetter at den deriverte i punktet x₀ finnes, ellers kan vi ikke skrive tangenten på denne måten.

Hele framgangsmåten har altså tre steg:

1. vi regner ut f(x₀),
2. vi deriverer funksjonen og regner ut f'(x₀),
3. vi setter begge tallene inn i formelen og forenkler.

Eksempel

Vi skriver likningen for tangenten til grafen til funksjonen f(x) = x² i punktet x₀ = 1, altså den røde tangenten fra figuren i begynnelsen av artikkelen.

Vi begynner med funksjonsverdien i punktet x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Tangeringspunktet ligger altså i (1, 1). Så kommer derivasjonen, og etter formlene for derivasjon gjelder (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

I den deriverte setter vi inn x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Stigningstallet til tangenten er to. Vi setter begge tallene inn i formelen:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Vi ganger ut parentesen:

$$y-1=2x-2$$

Det gjenstår å få y alene, så vi flytter eneren over til høyre side:

$$y=2x-1$$

Tangenten til grafen til funksjonen x² i punktet (1, 1) har likningen y = 2x − 1. Vi kontrollerer at tangenten virkelig går gjennom tangeringspunktet: 2 · 1 − 1 = 1. Det stemmer.

En vanlig feil er å sette x₀ inn i den opprinnelige funksjonen også der den deriverte skal stå, og skrive y − 1 = 1 · (x − 1). Da får vi riktignok en linje som går gjennom punktet, men den har feil helning, og derfor skjærer den grafen. Det er nettopp den grå stiplede linjen y = x fra figuren i innledningen.

Tangent parallell med en linje

Av og til er det ingen som oppgir tangeringspunktet, og vi må finne det selv. En typisk oppgave lyder: finn tangenten til grafen til funksjonen

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

som er parallell med linjen y = 2x − 7.

Linjen y = 2x − 7 er ikke selv en tangent, den har faktisk ikke noe felles punkt med parabelen. Når vi setter de to likningene lik hverandre, får vi x² − 6x + 12 = 0, og denne andregradslikningen har ingen løsning, siden diskriminanten blir 36 − 48 = −12. Vi må derfor flytte linjen så langt at den bare akkurat berører parabelen.

Parallelle linjer har samme stigningstall, så den tangenten vi leter etter, må ha stigningstall to, akkurat som linjen y = 2x − 7. Vi leter derfor etter et punkt der den deriverte er lik to. Vi deriverer:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Vi setter den deriverte lik to og løser førstegradslikningen:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Førstekoordinaten til tangeringspunktet er x₀ = 3. Andrekoordinaten får vi fra funksjonen:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Vi har tangeringspunktet T(3, 2) og stigningstallet to, så vi kan skrive:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Etter å ha ganget ut og flyttet toeren over til høyre får vi:

$$y=2x-4$$

Tangenten vi leter etter, har likningen y = 2x − 4. På figuren ser du parabelen i svart, den oppgitte linjen p i blått, tangenten t i rødt og tangeringspunktet T i oransje.

Hvis den oppgitte linjen hadde et annet stigningstall, ville framgangsmåten vært helt lik, vi ville bare satt den deriverte lik et annet tall. For en parabel får vi alltid nøyaktig ett tangeringspunkt, for mer kompliserte funksjoner kan det være flere, eller ingen.

Normal

Normalen er en rett linje som går gjennom tangeringspunktet og står vinkelrett på tangenten. Hvis tangenten har stigningstall a, har den vinkelrette linjen stigningstall $-\frac{1}{a}$. Likningen for normalen blir dermed

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Vi bruker formelen bare når f'(x₀) ≠ 0. Hvis den deriverte er null, er tangenten vannrett og normalen er den loddrette linjen x = x₀.

La oss gå tilbake til det første eksempelet og regne ut normalen til det, altså til funksjonen x² i punktet (1, 1). Stigningstallet til tangenten var to, så stigningstallet til normalen er $-\frac{1}{2}$. Vi setter inn:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Vi ganger ut:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Eneren flytter vi over til høyre side, og så legger vi sammen brøkene:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Normalen til grafen til funksjonen x² i punktet (1, 1) er altså gitt ved likningen $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.