Equazione della retta tangente

La retta tangente è una retta che tocca il grafico di una funzione in un punto e ha in esso la stessa inclinazione del grafico. Vicino a quel punto aderisce al grafico così bene che quasi non si distingue da esso. Vediamolo sulla parabola, cioè sul grafico della funzione f(x) = x²:

La retta rossa t è la tangente nel punto T(1; 1). La retta grigia tratteggiata passa per lo stesso punto, ma ha un’inclinazione diversa e perciò interseca il grafico e un po’ più in là lo incontra di nuovo. Quindi non è una tangente.

L’esercizio di solito si presenta così: abbiamo una funzione e un punto sul suo grafico e vogliamo scrivere l’equazione della tangente in quel punto, cioè l’equazione di una retta nella forma y = mx + q. Per l’equazione di una retta servono due cose:

• un punto per cui la retta passa,
• il coefficiente angolare m, cioè il numero che dice quanto la retta è inclinata.

Il punto è dato. Sta sul grafico, quindi se la sua ascissa è x₀, la sua ordinata è f(x₀). Per il coefficiente angolare ci aiuta la derivata: la derivata della funzione in un punto è esattamente il coefficiente angolare della tangente in quel punto. Resta da comporre, con il punto e il coefficiente angolare, l’equazione della retta.

Retta per un punto con coefficiente angolare dato

La retta che ha coefficiente angolare m e passa per il punto (x₀; y₀) ha equazione

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

Si può verificare subito: se al posto di x sostituisci x₀, il secondo membro è nullo, quindi y = y₀ e il punto sta sulla retta. E il numero davanti alla parentesi è il coefficiente angolare, perché eliminando le parentesi otteniamo la forma esplicita dell’equazione della retta y = mx + q con m al posto giusto.

Per la tangente il punto è il punto di tangenza, quindi sostituiamo y₀ = f(x₀), e al posto del coefficiente angolare mettiamo la derivata, m = f'(x₀).

Formula

Se cerchi solo la formula, la tangente al grafico della funzione f nel punto (x₀; f(x₀)) si scrive come

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

dove x₀ è l’ascissa del punto di tangenza e f'(x₀) è la derivata della funzione f in questo punto. La formula presuppone che la derivata nel punto x₀ esista, altrimenti in questo modo non possiamo scrivere la tangente.

L’intero procedimento ha quindi tre passi:

1. calcoliamo f(x₀),
2. deriviamo la funzione e calcoliamo f'(x₀),
3. sostituiamo i due numeri nella formula e semplifichiamo.

Esempio

Scriviamo l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = x² nel punto x₀ = 1, cioè quella tangente rossa della figura all’inizio dell’articolo.

Cominciamo con il valore della funzione nel punto x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Il punto di tangenza si trova quindi in (1; 1). Poi tocca alla derivata: secondo le formule per le derivate vale (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Nella derivata inseriamo x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Il coefficiente angolare della tangente è due. Sostituiamo i due numeri nella formula:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Eliminiamo le parentesi:

$$y-1=2x-2$$

Resta da isolare y, quindi portiamo l’uno a destra:

$$y=2x-1$$

La tangente al grafico della funzione x² nel punto (1; 1) ha equazione y = 2x − 1. Verifica che la tangente passi davvero per il punto di tangenza: 2 · 1 − 1 = 1. Torna.

Un errore frequente è sostituire x₀ nella funzione originaria anche dove dovrebbe esserci la derivata e scrivere y − 1 = 1 · (x − 1). Viene fuori sì una retta che passa per il punto, ma ha un’inclinazione sbagliata e quindi interseca il grafico. È proprio la retta grigia tratteggiata y = x della figura iniziale.

Tangente parallela a una retta

A volte però nessuno ci dà il punto di tangenza e dobbiamo scoprirlo noi. Il testo tipico dice: trova la tangente al grafico della funzione

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

parallela alla retta y = 2x − 7.

La retta y = 2x − 7 non è essa stessa una tangente, anzi con la parabola non ha alcun punto in comune. Se uguagliamo le due equazioni, otteniamo x² − 6x + 12 = 0 e questa equazione di secondo grado non ha soluzioni, perché il discriminante vale 36 − 48 = −12. Dobbiamo quindi spostare la retta fino a farle toccare la parabola in un solo punto.

Le rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi la tangente cercata deve avere coefficiente angolare due, come la retta y = 2x − 7. Cerchiamo perciò il punto in cui la derivata è uguale a due. Deriviamo:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Poniamo la derivata uguale a due e risolviamo l’equazione di primo grado:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

L’ascissa del punto di tangenza è x₀ = 3. L’ordinata la otteniamo dalla funzione:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Abbiamo il punto di tangenza T(3; 2) e il coefficiente angolare due, quindi possiamo scrivere:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Dopo aver eliminato le parentesi e portato il due a destra si ottiene:

$$y=2x-4$$

La tangente cercata ha equazione y = 2x − 4. Nella figura vedi la parabola in nero, la retta data p in blu, la tangente t in rosso e il punto di tangenza T in arancione.

Se la retta data avesse un altro coefficiente angolare, il procedimento sarebbe esattamente lo stesso, solo che porremmo la derivata uguale a un altro numero. Per una parabola si ottiene sempre un solo punto di tangenza, per funzioni più complicate ce ne possono essere di più, oppure nessuno.

Retta normale

La retta normale è la retta che passa per il punto di tangenza ed è perpendicolare alla tangente. Se la tangente ha coefficiente angolare m, la retta perpendicolare ha coefficiente angolare $-\frac{1}{m}$. L’equazione della normale è quindi

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

La formula si usa solo quando f'(x₀) ≠ 0. Se la derivata è nulla, la tangente è orizzontale e la normale è la retta verticale x = x₀.

Torniamo al primo esempio e calcoliamo la sua normale, cioè per la funzione x² nel punto (1; 1). Il coefficiente angolare della tangente era due, quindi il coefficiente angolare della normale è $-\frac{1}{2}$. Sostituiamo:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Eliminiamo le parentesi:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Portiamo l’uno al secondo membro e sommiamo le frazioni:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

La normale al grafico della funzione x² nel punto (1; 1) è quindi data dall’equazione $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.