Tangentin yhtälö

Tangentti on suora, joka sivuaa funktion kuvaajaa yhdessä pisteessä ja jolla on siinä sama kaltevuus kuin kuvaajalla. Pisteen lähellä se asettuu kuvaajaa vasten niin tiiviisti, ettei sitä voi juuri erottaa kuvaajasta. Katsotaan tätä paraabelin eli funktion f(x) = x² kuvaajan avulla:

Punainen suora t on tangentti pisteessä T = (1, 1). Harmaa katkoviivasuora kulkee saman pisteen kautta, mutta sillä on eri kaltevuus, ja siksi se leikkaa kuvaajan ja kohtaa sen uudelleen vähän matkan päässä. Se ei siis ole tangentti.

Tehtävä on yleensä tällainen: annettuna on funktio ja piste sen kuvaajalla, ja halutaan kirjoittaa tangentin yhtälö tässä pisteessä, eli suoran yhtälö muodossa y = kx + b. Suoran yhtälöön tarvitaan kaksi asiaa:

• piste, jonka kautta suora kulkee,
• kulmakerroin k, eli luku, joka kertoo, kuinka jyrkästi suora on kallellaan.

Piste on annettu. Se on kuvaajalla, joten jos sen ensimmäinen koordinaatti on x₀, sen toinen koordinaatti on f(x₀). Kulmakertoimen löytämisessä auttaa derivaatta: funktion derivaatta pisteessä on juuri tangentin kulmakerroin tässä pisteessä. Jäljellä on vielä muodostaa pisteestä ja kulmakertoimesta suoran yhtälö.

Pisteen ja kulmakertoimen määräämä suora

Suoran, jonka kulmakerroin on k ja joka kulkee pisteen (x₀, y₀) kautta, yhtälö on

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

Sen voi tarkistaa heti: kun x:n paikalle sijoitetaan x₀, oikea puoli on nolla, joten y = y₀ ja piste on suoralla. Ja sulkeiden edessä oleva luku on kulmakerroin, koska kertomalla sulkeet auki saadaan suoran yhtälö kulmakerroinmuodossa y = kx + b, jossa k on oikealla paikallaan.

Tangentin tapauksessa kosketuspisteelle sijoitetaan y₀ = f(x₀) ja kulmakertoimeksi derivaatta, k = f'(x₀).

Kaava

Jos tarvitset vain kaavan, funktion f kuvaajan tangentti pisteessä (x₀, f(x₀)) kirjoitetaan muodossa

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

missä x₀ on kosketuspisteen ensimmäinen koordinaatti ja f'(x₀) on funktion f derivaatta tässä pisteessä. Kaava edellyttää, että derivaatta pisteessä x₀ on olemassa, muuten tangenttia ei voi tällä tavalla kirjoittaa.

Koko menettelyssä on siis kolme vaihetta:

1. lasketaan f(x₀),
2. derivoidaan funktio ja lasketaan f'(x₀),
3. sijoitetaan molemmat luvut kaavaan ja sievennetään.

Esimerkki

Kirjoitetaan funktion f(x) = x² kuvaajan tangentin yhtälö pisteessä x₀ = 1, eli artikkelin alun kuvan punaisen tangentin yhtälö.

Aloitetaan funktion arvosta pisteessä x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Kosketuspiste on siis (1, 1). Seuraavaksi on derivaatan vuoro, derivointikaavojen mukaan (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Sijoitetaan derivaattaan x₀ = 1:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Tangentin kulmakerroin on kaksi. Sijoitetaan molemmat luvut kaavaan:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Kerrotaan sulkeet auki:

$$y-1=2x-2$$

Jäljellä on y:n ratkaiseminen, joten siirretään ykkönen oikealle puolelle:

$$y=2x-1$$

Funktion x² kuvaajan tangentin yhtälö pisteessä (1, 1) on y = 2x − 1. Tarkistus, että tangentti todella kulkee kosketuspisteen kautta: 2 · 1 − 1 = 1. Täsmää.

Yleinen virhe on sijoittaa x₀ alkuperäiseen funktioon myös silloin, kun pitäisi sijoittaa derivaattaan, ja kirjoittaa y − 1 = 1 · (x − 1). Tulokseksi tulee kyllä suora, joka kulkee pisteen kautta, mutta sen kaltevuus on väärä, ja siksi se leikkaa kuvaajan. Se on juuri se harmaa katkoviivasuora y = x alkukuvasta.

Suoran kanssa yhdensuuntainen tangentti

Joskus kosketuspistettä ei kuitenkaan anneta, vaan se täytyy selvittää itse. Tyypillinen tehtävä kuuluu: Määritä funktion

$$f(x)=x^2-4x+5$$

kuvaajan tangentti, joka on yhdensuuntainen suoran y = 2x − 7 kanssa.

Suora y = 2x − 7 ei itse ole tangentti, eikä sillä ole paraabelin kanssa edes yhteisiä pisteitä. Kun yhtälöt asetetaan yhtä suuriksi, saadaan x² − 6x + 12 = 0, ja tällä toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska diskriminantti on 36 − 48 = −12. Suoraa täytyy siksi siirtää niin paljon, että se vain sivuaa paraabelia.

Yhdensuuntaisilla suorilla on sama kulmakerroin, joten haetun tangentin kulmakertoimen täytyy olla kaksi, aivan kuten suoralla y = 2x − 7. Haetaan siis piste, jossa derivaatta on kaksi. Derivoidaan:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Asetetaan derivaatta yhtä suureksi kuin kaksi ja ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälö:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Kosketuspisteen ensimmäinen koordinaatti on x₀ = 3. Toinen koordinaatti saadaan funktiosta:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Kosketuspiste on T = (3, 2) ja kulmakerroin on kaksi, joten voidaan kirjoittaa:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Kerrotaan sulkeet auki ja siirretään kakkonen oikealle puolelle:

$$y=2x-4$$

Haetun tangentin yhtälö on y = 2x − 4. Kuvassa paraabeli on piirretty mustalla, annettu suora p sinisellä, tangentti t punaisella ja kosketuspiste T oranssilla.

Jos annetulla suoralla olisi eri kulmakerroin, menettely olisi täsmälleen sama, vain derivaatta asetettaisiin yhtä suureksi kuin jokin toinen luku. Paraabelilla kosketuspiste on aina täsmälleen yksi, monimutkaisemmilla funktioilla niitä voi olla useampia tai ei yhtään.

Normaali

Normaali on suora, joka kulkee kosketuspisteen kautta ja on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Jos tangentin kulmakerroin on k, kohtisuoran suoran kulmakerroin on $-\frac{1}{k}$. Normaalin yhtälö on siis

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Kaavaa käytetään vain silloin, kun f'(x₀) ≠ 0. Jos derivaatta on nolla, tangentti on vaakasuora ja normaali on pystysuora suora x = x₀.

Palataan ensimmäiseen esimerkkiin ja lasketaan sen normaali, eli funktion x² kuvaajan normaali pisteessä (1, 1). Tangentin kulmakerroin oli kaksi, joten normaalin kulmakerroin on $-\frac{1}{2}$. Sijoitetaan:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Kerrotaan sulkeet auki:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Siirretään ykkönen oikealle puolelle ja lasketaan murtoluvut yhteen:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Funktion x² kuvaajan normaalin yhtälö pisteessä (1, 1) on siis $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.