Equação da reta tangente

A reta tangente é uma reta que toca o gráfico da função em um ponto e tem nele a mesma inclinação que o gráfico. Nas proximidades desse ponto, ela se cola ao gráfico tão de perto que quase não dá para distingui-los. Vejamos isso em uma parábola, isto é, no gráfico da função f(x) = x²:

A reta vermelha t é a tangente no ponto T(1, 1). A reta cinza tracejada passa pelo mesmo ponto, mas tem outra inclinação e, por isso, corta o gráfico e volta a encontrá-lo um pouco adiante. Portanto, ela não é tangente.

O problema costuma ser assim: temos uma função e um ponto de seu gráfico e queremos escrever a equação da reta tangente nesse ponto, isto é, a equação da reta na forma y = mx + n. Para a equação da reta precisamos de duas coisas:

• um ponto pelo qual a reta passa,
• o coeficiente angular m, isto é, o número que diz o quanto a reta é inclinada.

O ponto está dado. Ele está sobre o gráfico, então, se sua primeira coordenada é x₀, sua segunda coordenada é f(x₀). A derivada nos ajuda com o coeficiente angular: a derivada da função em um ponto é exatamente o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto. Falta montar a equação da reta a partir do ponto e do coeficiente angular.

Reta dada por um ponto e pelo coeficiente angular

A reta que tem coeficiente angular m e passa pelo ponto (x₀, y₀) tem a equação

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

Dá para verificar logo: quando você substitui x por x₀, o lado direito é nulo, então y = y₀ e o ponto está sobre a reta. E o número antes do parêntese é o coeficiente angular, porque, após eliminar os parênteses, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + n com m no lugar certo.

No caso da tangente, substituímos o ponto de tangência, y₀ = f(x₀), e, como coeficiente angular, a derivada, m = f'(x₀).

Fórmula

Se você procura apenas a fórmula, a reta tangente ao gráfico da função f no ponto (x₀, f(x₀)) se escreve como

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

em que x₀ é a primeira coordenada do ponto de tangência e f'(x₀) é a derivada da função f nesse ponto. A fórmula pressupõe que a derivada no ponto x₀ existe; caso contrário, não conseguimos escrever a reta tangente desse modo.

O procedimento inteiro tem, portanto, três passos:

1. calculamos f(x₀),
2. derivamos a função e calculamos f'(x₀),
3. substituímos os dois números na fórmula e simplificamos.

Exemplo

Vamos escrever a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x² no ponto x₀ = 1, isto é, aquela tangente vermelha da figura do início do artigo.

Começamos com o valor da função no ponto x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

O ponto de tangência está, portanto, em (1, 1). Depois vem a vez da derivada; pelas fórmulas de derivadas, vale (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Substituímos x₀ = 1 na derivada:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

O coeficiente angular da reta tangente é dois. Substituímos os dois números na fórmula:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Eliminamos os parênteses:

$$y-1=2x-2$$

Falta isolar y, então passamos o um para a direita:

$$y=2x-1$$

A reta tangente ao gráfico da função x² no ponto (1, 1) tem a equação y = 2x − 1. Verificação de que a reta tangente realmente passa pelo ponto de tangência: 2 · 1 − 1 = 1. Confere.

Um erro comum é substituir x₀ na função original também onde deveria estar a derivada e escrever y − 1 = 1 · (x − 1). Resulta, sim, uma reta que passa pelo ponto, mas ela tem a inclinação errada e, por isso, corta o gráfico. É justamente aquela reta cinza tracejada y = x da figura de abertura.

Tangente paralela a uma reta

Às vezes, porém, ninguém dá o ponto de tangência e precisamos descobri-lo nós mesmos. O enunciado típico é: encontre a reta tangente ao gráfico da função

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

que seja paralela à reta y = 2x − 7.

A reta y = 2x − 7 não é tangente; ela nem sequer tem nenhum ponto em comum com a parábola. Se igualarmos as duas equações, obtemos x² − 6x + 12 = 0, e essa equação do 2º grau não tem solução, porque o discriminante resulta em 36 − 48 = −12. Por isso precisamos deslocar a reta até que ela apenas toque a parábola.

Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, então a tangente procurada deve ter coeficiente angular dois, assim como a reta y = 2x − 7. Procuramos, portanto, o ponto em que a derivada é igual a dois. Derivamos:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Igualamos a derivada a dois e resolvemos a equação do 1º grau:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

A primeira coordenada do ponto de tangência é x₀ = 3. Obtemos a segunda a partir da função:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Temos o ponto de tangência T(3, 2) e o coeficiente angular dois, então podemos escrever:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Após eliminar os parênteses e passar o dois para a direita, resulta:

$$y=2x-4$$

A reta tangente procurada tem a equação y = 2x − 4. Na figura você vê a parábola em preto, a reta dada p em azul, a tangente t em vermelho e o ponto de tangência T em laranja.

Se a reta dada tivesse outro coeficiente angular, o procedimento seria exatamente o mesmo, apenas igualaríamos a derivada a outro número. Em uma parábola resulta sempre exatamente um ponto de tangência; em funções mais complicadas pode haver mais de um, ou também nenhum.

Reta normal

A reta normal é a reta que passa pelo ponto de tangência e é perpendicular à tangente. Se a tangente tem coeficiente angular m, a reta perpendicular tem coeficiente angular $-\frac{1}{m}$. A equação da reta normal é, portanto,

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Só usamos a fórmula quando f'(x₀) ≠ 0. Se a derivada é nula, a tangente é horizontal e a normal é a reta vertical x = x₀.

Voltemos ao primeiro exemplo e calculemos a sua reta normal, isto é, para a função x² no ponto (1, 1). O coeficiente angular da tangente era dois, então o coeficiente angular da normal é $-\frac{1}{2}$. Substituímos:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Eliminamos os parênteses:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Passamos o um para o lado direito e somamos as frações:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

A reta normal ao gráfico da função x² no ponto (1, 1) é, portanto, dada pela equação $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.