Gleichung der Tangente

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat wie der Graph. In der Nähe dieses Punktes schmiegt sie sich so eng an den Graphen an, dass man sie kaum von ihm unterscheiden kann. Zeigen wir das an der Parabel, also am Graphen der Funktion f(x) = x²:

Die rote Gerade t ist die Tangente im Punkt T(1 ∣ 1). Die graue gestrichelte Gerade verläuft durch denselben Punkt, hat aber eine andere Steigung, und deshalb schneidet sie den Graphen und trifft ihn ein Stück weiter wieder. Eine Tangente ist sie also nicht.

Die Aufgabe sieht meistens so aus: Wir haben eine Funktion und einen Punkt auf ihrem Graphen und wollen die Gleichung der Tangente in diesem Punkt aufstellen, also die Gleichung einer Geraden der Form y = mx + b. Für die Geradengleichung brauchen wir zwei Dinge:

• einen Punkt, durch den die Gerade verläuft,
• die Steigung m, also die Zahl, die sagt, wie stark die Gerade geneigt ist.

Der Punkt ist gegeben. Er liegt auf dem Graphen, hat er also die erste Koordinate x₀, ist seine zweite Koordinate f(x₀). Bei der Steigung hilft uns die Ableitung: Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist genau die Steigung der Tangente an dieser Stelle. Es bleibt, aus dem Punkt und der Steigung die Geradengleichung zusammenzusetzen.

Gerade durch einen Punkt mit gegebener Steigung

Eine Gerade mit der Steigung m, die durch den Punkt (x₀ ∣ y₀) verläuft, hat die Gleichung

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

Das lässt sich sofort überprüfen: Setzt du für x den Wert x₀ ein, ist die rechte Seite null, also gilt y = y₀ und der Punkt liegt auf der Geraden. Und die Zahl vor der Klammer ist die Steigung, denn nach dem Ausmultiplizieren erhalten wir die Normalform der Geradengleichung y = mx + b mit m an der richtigen Stelle.

Bei der Tangente setzen wir für den Berührpunkt y₀ = f(x₀) ein und für die Steigung die Ableitung, m = f'(x₀).

Formel

Wenn du nur die Formel suchst, dann schreibst du die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt (x₀ ∣ f(x₀)) so auf:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

wobei x₀ die erste Koordinate des Berührpunkts ist und f'(x₀) die Ableitung der Funktion f an dieser Stelle. Die Formel setzt voraus, dass die Ableitung an der Stelle x₀ existiert, sonst können wir die Tangente auf diese Weise nicht aufstellen.

Das ganze Vorgehen besteht also aus drei Schritten:

1. Wir berechnen f(x₀).
2. Wir leiten die Funktion ab und berechnen f'(x₀).
3. Wir setzen beide Zahlen in die Formel ein und vereinfachen.

Beispiel

Wir stellen die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x² im Punkt x₀ = 1 auf, also die rote Tangente aus der Abbildung am Anfang des Artikels.

Wir beginnen mit dem Funktionswert an der Stelle x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Der Berührpunkt liegt also bei (1 ∣ 1). Dann ist die Ableitung an der Reihe, nach den Formeln zum Ableiten gilt (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

In die Ableitung setzen wir x₀ = 1 ein:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Die Steigung der Tangente ist zwei. Beide Zahlen setzen wir in die Formel ein:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Wir multiplizieren die Klammer aus:

$$y-1=2x-2$$

Jetzt müssen wir noch nach y auflösen, also bringen wir die Eins auf die rechte Seite:

$$y=2x-1$$

Die Tangente an den Graphen der Funktion x² im Punkt (1 ∣ 1) hat die Gleichung y = 2x − 1. Probe, ob die Tangente wirklich durch den Berührpunkt verläuft: 2 · 1 − 1 = 1. Passt.

Ein häufiger Fehler ist, x₀ auch dort in die ursprüngliche Funktion einzusetzen, wo die Ableitung stehen sollte, und y − 1 = 1 · (x − 1) zu schreiben. Es kommt zwar eine Gerade heraus, die durch den Punkt verläuft, aber sie hat die falsche Steigung, und deshalb schneidet sie den Graphen. Es ist genau die graue gestrichelte Gerade y = x aus der Abbildung am Anfang.

Tangente parallel zu einer Geraden

Manchmal gibt aber niemand den Berührpunkt vor, und wir müssen ihn selbst aufspüren. Die typische Aufgabe lautet: Finde die Tangente an den Graphen der Funktion

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

die parallel zur Geraden y = 2x − 7 verläuft.

Die Gerade y = 2x − 7 ist selbst keine Tangente, mit der Parabel hat sie nicht einmal einen gemeinsamen Punkt. Setzen wir beide Gleichungen gleich, erhalten wir x² − 6x + 12 = 0, und diese quadratische Gleichung hat keine Lösung, weil die Diskriminante 36 − 48 = −12 beträgt. Die Gerade müssen wir daher so weit verschieben, dass sie die Parabel nur berührt.

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, die gesuchte Tangente muss also die Steigung zwei haben, genau wie die Gerade y = 2x − 7. Wir suchen daher einen Punkt, in dem die Ableitung gleich zwei ist. Wir leiten ab:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Wir setzen die Ableitung gleich zwei und lösen die lineare Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Die erste Koordinate des Berührpunkts ist x₀ = 3. Die zweite erhalten wir aus der Funktion:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Wir haben den Berührpunkt T(3 ∣ 2) und die Steigung zwei, also können wir schreiben:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Wir multiplizieren aus, bringen die Zwei auf die rechte Seite und erhalten:

$$y=2x-4$$

Die gesuchte Tangente hat die Gleichung y = 2x − 4. In der Abbildung siehst du die Parabel in Schwarz, die gegebene Gerade p in Blau, die Tangente t in Rot und den Berührpunkt T in Orange.

Hätte die gegebene Gerade eine andere Steigung, wäre das Vorgehen genau dasselbe, wir würden die Ableitung nur einer anderen Zahl gleichsetzen. Bei einer Parabel ergibt sich immer genau ein Berührpunkt, bei komplizierteren Funktionen können es mehrere sein, oder auch gar keiner.

Normale

Die Normale ist die Gerade, die durch den Berührpunkt verläuft und senkrecht auf der Tangente steht. Hat die Tangente die Steigung m, hat die dazu senkrechte Gerade die Steigung $-\frac{1}{m}$. Die Gleichung der Normalen lautet also

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Die Formel verwenden wir nur, wenn f'(x₀) ≠ 0 ist. Ist die Ableitung null, ist die Tangente waagerecht und die Normale ist die senkrechte Gerade x = x₀.

Kehren wir zum ersten Beispiel zurück und berechnen wir dazu die Normale, also für die Funktion x² im Punkt (1 ∣ 1). Die Steigung der Tangente war zwei, die Steigung der Normalen ist daher $-\frac{1}{2}$. Wir setzen ein:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Wir multiplizieren aus:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Die Eins bringen wir auf die rechte Seite und addieren die Brüche:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Die Normale an den Graphen der Funktion x² im Punkt (1 ∣ 1) ist also durch die Gleichung $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ gegeben.