Teğetin Denklemi

Teğet, bir fonksiyonun grafiğine tek bir noktada değen ve o noktada grafikle aynı eğime sahip olan doğrudur. O noktanın yakınında grafiğe o kadar sıkı yaklaşır ki ondan neredeyse ayırt edilemez. Bunu parabol üzerinde, yani f(x) = x² fonksiyonunun grafiğinde görelim:

Kırmızı t doğrusu, T(1, 1) noktasındaki teğettir. Gri kesikli doğru aynı noktadan geçer, ama eğimi farklıdır; bu yüzden grafiği keser ve biraz ileride onunla yeniden buluşur. Yani teğet değildir.

Soru genellikle şöyle sorulur: bir fonksiyon ve grafiği üzerinde bir nokta verilmiştir, o noktadaki teğetin denklemini, yani y = mx + n biçimindeki doğru denklemini yazmak istiyoruz. Bir doğrunun denklemi için iki şey gerekir:

• doğrunun geçtiği bir nokta,
• eğim m, yani doğrunun ne kadar eğik olduğunu söyleyen sayı.

Nokta verilmiştir. Grafiğin üzerinde olduğundan birinci koordinatı x₀ ise ikinci koordinatı f(x₀) olur. Eğim için türev yardımcı olur: bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, tam olarak o noktadaki teğetin eğimidir. Geriye nokta ve eğimden doğrunun denklemini kurmak kalıyor.

Nokta ve Eğimle Verilen Doğru

Eğimi m olan ve (x₀, y₀) noktasından geçen doğrunun denklemi şöyledir:

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

Bunu hemen doğrulayabilirsin: x yerine x₀ yazarsan sağ taraf sıfır olur, yani y = y₀ bulunur ve nokta doğrunun üzerindedir. Parantezin önündeki sayı da eğimdir, çünkü parantezi açınca m doğru yerde olacak biçimde doğrunun eğim denklemini y = mx + n elde ederiz.

Teğette değme noktası için y₀ = f(x₀), eğim için de türevi yazarız: m = f'(x₀).

Formül

Yalnızca formülü arıyorsan, f fonksiyonunun grafiğine (x₀, f(x₀)) noktasında çizilen teğet şöyle yazılır:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

burada x₀ değme noktasının birinci koordinatı, f'(x₀) ise f fonksiyonunun bu noktadaki türevidir. Formül, türevin x₀ noktasında var olduğunu varsayar; yoksa teğeti bu yolla yazamayız.

Yani bütün işlem üç adımdan oluşur:

1. f(x₀) değerini hesaplarız,
2. fonksiyonun türevini alıp f'(x₀) değerini hesaplarız,
3. iki sayıyı da formülde yerine yazıp sadeleştiririz.

Örnek

f(x) = x² fonksiyonunun grafiğine x₀ = 1 noktasında çizilen teğetin, yani yazının başındaki şekilde görünen kırmızı teğetin denklemini yazalım.

Önce fonksiyonun x₀ noktasındaki değerini bulalım:

$$f(1)=1^2=1$$

Demek ki değme noktası (1, 1) olur. Sıra türeve geldi; türev formüllerine göre (x²)' = 2x olur:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Türevde x₀ = 1 yazalım:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Teğetin eğimi ikidir. İki sayıyı da formülde yerine yazalım:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Parantezi açalım:

$$y-1=2x-2$$

Geriye y’yi yalnız bırakmak kalıyor, bu yüzden 1’i sağ tarafa atalım:

$$y=2x-1$$

x² fonksiyonunun grafiğine (1, 1) noktasında çizilen teğetin denklemi y = 2x − 1 olur. Teğetin değme noktasından gerçekten geçtiğinin doğrulaması: 2 · 1 − 1 = 1. Tutuyor.

Sık yapılan bir hata, türevin yazılması gereken yere de x₀’ı asıl fonksiyonda yerine yazıp y − 1 = 1 · (x − 1) demektir. Noktadan geçen bir doğru çıkar elbette, ama eğimi yanlış olduğundan bu doğru grafiğe yalnızca değmez, onu keser. Başlangıçtaki şekilde görünen gri kesikli y = x doğrusu tam olarak budur.

Bir Doğruya Paralel Teğet

Bazen değme noktasını kimse vermez ve onu kendimiz bulmamız gerekir. Tipik soru şöyledir:

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

fonksiyonunun grafiğine, y = 2x − 7 doğrusuna paralel olan teğeti bul.

y = 2x − 7 doğrusu kendisi teğet değildir, üstelik parabolle ortak hiçbir noktası yoktur. İki denklemi birbirine eşitlersek x² − 6x + 12 = 0 elde ederiz ve bu ikinci dereceden denklemin çözümü yoktur, çünkü diskriminant 36 − 48 = −12 çıkar. Bu yüzden doğruyu, parabole yalnızca değecek kadar kaydırmamız gerekir.

Paralel doğruların eğimleri eşittir; öyleyse aradığımız teğetin eğimi de y = 2x − 7 doğrusununki gibi iki olmalıdır. Yani türevin ikiye eşit olduğu noktayı arıyoruz. Türev alalım:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Türevi ikiye eşitleyip birinci dereceden denklemi çözelim:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Değme noktasının birinci koordinatı x₀ = 3 olur. İkincisini fonksiyondan buluruz:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Değme noktası T(3, 2) ve eğim iki olduğuna göre şunu yazabiliriz:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Parantezi açıp 2’yi sağa attıktan sonra şu çıkar:

$$y=2x-4$$

Aradığımız teğetin denklemi y = 2x − 4 olur. Şekilde parabolü siyah, verilen p doğrusunu mavi, t teğetini kırmızı, T değme noktasını ise turuncu görüyorsun.

Verilen doğrunun eğimi başka olsaydı işlem tamamen aynı olurdu; yalnızca türevi başka bir sayıya eşitlerdik. Parabolde her zaman tam olarak bir değme noktası çıkar; daha karmaşık fonksiyonlarda birden çok olabilir ya da hiç olmayabilir.

Normal

Normal, değme noktasından geçen ve teğete dik olan doğrudur. Teğetin eğimi m ise ona dik doğrunun eğimi $-\frac{1}{m}$ olur. Normalin denklemi şöyledir:

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Formülü yalnızca f'(x₀) ≠ 0 olduğunda kullanırız. Türev sıfırsa teğet yataydır ve normal x = x₀ dikey doğrusudur.

İlk örneğe dönüp onun normalini de bulalım, yani x² fonksiyonunun (1, 1) noktasındaki normalini. Teğetin eğimi ikiydi, o hâlde normalin eğimi $-\frac{1}{2}$ olur. Yerine yazalım:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Parantezi açalım:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

1’i sağ tarafa atıp kesirleri toplayalım:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

x² fonksiyonunun grafiğine (1, 1) noktasında çizilen normal, $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ denklemiyle verilir.