部分積分法

部分積分法は、積の形の関数の原始関数を求めたいときに使います。

公式の導き方

導き方は、おなじみの微分の公式にもとづきます。

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

関数 u と v があり、ある区間 J で微分可能、つまり u′ と v′ が存在するとします。ここで、両辺を積分します。すると次のようになります。

$\int (u \cdot v)^{'} = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

左辺では、積分と微分を取り除けます。ある関数を微分してから積分し直すと、（定数 c の違いを除いて）元の関数に戻るからです。

$u \cdot v = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

v の導関数 v′ を含む積分を左辺に残すように変形します。

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

つまり、関数 $u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$ は、関数 u · v′ の原始関数です。これをこの先で使います。

例題1

例を使って、部分積分法の使い方を見ていきましょう。次の積分を計算します。

$\int x \cdot \cos x d x$

この種の問題は、積分の基本の記事で紹介したふつうの方法では解けません。与えられた関数は積の形なので、部分積分法を使います。

次の公式

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

には関数 u と v があり、これらをうまく選ばなければなりません。いま求められていることを整理しましょう。前の公式を使えば、積分 $\int u \cdot v^{'}$ が計算できます。しかし、問題にはそのようなものはなく、あるのは x · cos x で、公式が求めている v の導関数はどこにもありません。そこで、関数 x · cos x を2つの関数の積に分ける必要があります。一方の関数を u、もう一方を v′ と決めます。

うまく選ぶことはとても大切で、選び方を間違えると、かえって面倒になります。前の公式を使うと、右辺に何が出てくるかを見てください。式 u · v は問題ありませんが、積分 $\int u^{'} \cdot v$ を計算しなければなりません。したがって、関数 u は微分でき、関数 v′ は積分できる必要があります。

関数を次のように選びます。

$u = x, v^{'} = \cos x$

これで左辺が得られました。左辺の積分の中には、ちょうど積 u · v′ があるからです。右辺にはさらに積 u · v ともう1つの積分があります。そこで、u′ と v を計算しなければなりません。u の微分は簡単です。

$u^{'} = x^{'} = 1$

次に、v′ から v を求めます。つまり、v′ を積分します。もう一度確認すると、v′ = cos x と選びました。しかし、右辺で扱うのは微分していない v です。言いかえると、右辺の被積分関数にある v を微分すれば、左辺で選んだ v′ になっていなければなりません。そこで、微分すると cos x になる関数を探します。つまり、v′ を積分します。

$v = \int v^{'} = \int \cos x = \sin x$

わかっていることを表にまとめます。

$[\begin{matrix} u = x, & v^{'} = \cos x \\ u^{'} = 1, & v = \sin x \end{matrix}]$

この表から、次の公式に代入します。

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v,$

すると次のようになります。

$\int x \cdot \cos x d x = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x$

積分を、もっと簡単に解ける別の形に変形できました。式 x · sin x はこれ以上変形せず、右側の積分だけを計算します。これはもう公式どおりの簡単な積分です。

$\int \sin x d x = - \cos x + c$

したがって、次のように書けます。

$\begin{array}{rcl} \int x \cdot \cos x d x & = & x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x \\ = & x \cdot \sin x - (- \cos x) \\ = & x \cdot \sin x + \cos x + c \end{array}$

これが答えです。

関数の選び方を間違えた場合

この例で、関数 u と v′ を別の選び方にしたらどうなるかも見てみましょう。前は次のように選びました。

$u = x, v^{'} = \cos x,$

そこで今度は逆にしてみます。

$u = \cos x, v^{'} = x$

u′ と v の値を計算します。すると次のようになります。

$u^{'} = (\cos x)^{'} = - \sin x$

次に、v′ を積分します。

$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + c$

表にまとめます。

$[\begin{matrix} u = \cos x, & v^{'} = x \\ u^{'} = - \sin x, & v = \frac{x^{2}}{2} \end{matrix}]$

公式に代入します。

$\int x \cos x = \cos x \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int - \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$

あまり役に立たなかったことがわかります。問題は x · cos x の積分でしたが、部分積分法を使った結果、 $- \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$ の積分になってしまいました。これではうまくいきません。

関数 u と v' の選び方

残念ながら、どんな場合にも使える規則はなく、少し勘が必要です。また、それらの関数をこのあとどう扱うかを考えるのも役に立ちます。出発点となる基本の公式は次のとおりです。

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

積の形の関数 f を積分するときは、f = u · v′ となるように関数 u と v′ に分けます。部分積分法の目的は、右辺の積分 $\int u^{'} \cdot v$ を左辺の積分より簡単にすることです。式 u · v はあまり気にしなくてよく、どんなに複雑でもかまいません。

右辺の積分を簡単にするには、u に、微分すると簡単になる関数を選ぶのがよいでしょう。典型的なのは xⁿ の形の関数で、微分すると次数が1つ下がります。たとえば、x² からは 2x が、x からは 1 が得られます。これは理想的です。

逆に、v′ には、積分しても複雑にならないものを選びます。ふつうは、v′ を積分して簡単な関数になることは期待できませんが、ほぼ同じくらいの複雑さの関数になることは期待できます。典型的なのはサインとコサインで、一方を積分するともう一方になるので、問題ありません。

例題2

もう少し複雑な例を見てみましょう。

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x$

関数 e^x の積分はまた e^x なので、積分する側の候補として理想的です。逆に、x² を微分すると 2x になり、より簡単な式になります。そこで、関数を次のように選びます。

$u = x^{2}, v^{'} = e^{x}$

表全体は次のようになります。

$[\begin{matrix} u = x^{2}, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2 x, & v = e^{x} \end{matrix}]$

公式に代入します。

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

より簡単な積分になりましたが、まだ完全には計算できません。もう一度部分積分法を使います。今度は次の積分を計算します。

$\int 2 x \cdot e^{x} d x$

手順は前の段階と同じです。関数を次のように選びます。

$[\begin{matrix} u = 2 x, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2, & v = e^{x} \end{matrix}]$

すると次のようになります。

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - \int 2 e^{x} d x$

数 2 を積分の前にくくり出すと、次のようになります。

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot \int e^{x} d x$

そして、e^x の積分はまた e^x です。

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

この結果を、前の式に戻して代入します。

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

代入すると次のようになります。

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x})$

あとは、結果を少し見やすい形に整理するだけです。まず、かっこの中に −1 をかけてかっこをはずし、そのあと e^x をくくり出します。

$\begin{array}{rcl} \int x^{2} \cdot e^{x} d x & = & x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}) \\ = & x^{2} \cdot e^{x} - 2 x \cdot e^{x} + 2 \cdot e^{x} \\ = & e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) \end{array}$

これで答えが出ました。

対数関数の積分

これは、部分積分法の定番中の定番です。この有名な積分の問題を見てください。

$\int \log x d x$

この積分の面白いところは、積がどこにもないのに、部分積分法で解くことです。対数に1をかけるだけです。そうしても積分する関数は変わりませんが、かけ算の形になります。

$\int 1 \cdot \log x d x$

関数 u と v′ はどう選べばよいでしょうか。対数関数はまだ積分できない（その積分をいま求めている）ので、対数を微分する側にします。積分するのは1です。したがって、次のようになります。

$u = \log x, v^{'} = 1$

対数の導関数は 1/x です。

$(\log x)^{'} = \frac{1}{x}$

そして、1の積分は x です。

$\int 1 d x = x$

表に書き込みます。

$[\begin{matrix} u = \log x, & v^{'} = 1 \\ u^{'} = \frac{1}{x}, & v = x \end{matrix}]$

公式に代入します。

$\int \log x d x = x \cdot \log x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x$

右辺の積分を計算します。

$\int \frac{1}{x} \cdot x d x = \int 1 d x = x$

こうして答えが得られます。

$\int \log x d x = x \cdot \log x - x + c$

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