Delvis integrasjon

Delvis integrasjon, også kalt integrasjon per partes, brukes når vi vil finne en antiderivert til en funksjon som står på produktform.

Utledning av formelen

Utledningen bygger på den klassiske formelen for deriverte.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Vi antar altså at vi har funksjoner u og v som er deriverbare på et intervall J, altså at u′ og v′ finnes. Nå integrerer vi begge sider. Vi får:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

På venstre side kan vi fjerne integralet og den deriverte, for hvis vi deriverer en funksjon og så integrerer den tilbake, får vi den opprinnelige funksjonen (bortsett fra konstanten C).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Vi isolerer integralet der vi deriverer funksjonen v:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Altså er funksjonen $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ en antiderivert til funksjonen u · v′. Dette skal vi bruke videre.

Første eksempel

På et eksempel viser vi hvordan vi bruker metoden per partes. Vi regner ut integralet

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Denne typen eksempler kan ikke løses med de vanlige midlene vi har gått gjennom i den grunnleggende artikkelen om integraler. Siden den oppgitte funksjonen står på produktform, bruker vi metoden per partes.

I formelen

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

har vi funksjonene u og v, og dem må vi velge på en fornuftig måte. Hva som kreves av oss nå, er altså dette: etter den forrige formelen kan vi regne ut integralet $\int u\cdot v^{\prime }$. Men i oppgaven har vi ikke noe slikt, der har vi x · cos x, og ingen steder noen derivert v slik formelen krever. Vi må derfor dele funksjonen x · cos x opp i et produkt av to funksjoner. Den ene funksjonen sier vi at skal være u og den andre v′.

Et fornuftig valg er veldig viktig, for ved et dårlig valg gjør vi som regel framgangsmåten bare mer komplisert. Se på hva vi får på høyre side hvis vi bruker den forrige formelen. Uttrykket u · v blir ikke noe problem, men vi må regne ut integralet $\int u^{\prime }\cdot v$. Vi bør altså kunne derivere funksjonen u, og vi bør kunne integrere funksjonen v′.

Vi velger funksjonene slik:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Dermed har vi fått venstre side av likningen, for den inneholder i integralet nettopp produktet u · v′. På høyre side har vi videre produktet u · v og et integral til. Vi må altså regne ut u′ og v. Den deriverte til u er enkel:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Nå må vi regne ut v fra v′, altså vi integrerer v′. Nok en gang: vi har valgt at v′ = cos x. Men på høyre side av likningen arbeider vi med verdien v, uten derivasjon. Altså hvis vi deriverer det v som står i integranden på høyre side av likningen, må vi få nettopp det v′ vi valgte på venstre side av likningen. Vi leter derfor etter en funksjon som blir lik cos x når vi deriverer den. Med andre ord integrerer vi v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Vi skriver ned i en tabell det vi allerede vet:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Fra denne tabellen setter vi inn i formelen

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

og får dette:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Vi ser at vi klarte å omforme integralet til en annen form som vi kan løse lettere. Uttrykket x · sin x forenkler vi ikke videre, vi regner bare ut integralet til høyre. Det er allerede et enkelt standardintegral:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+C$$

Vi kan altså skrive at

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+C\end{array}$$

Det er resultatet.

Dårlig valg av funksjoner

På dette eksempelet viser vi også hva som ville skje hvis vi valgte funksjonene u og v′ annerledes. Tidligere valgte vi

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

så nå prøver vi det omvendt:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Vi regner ut verdiene u′ og v. Vi får:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Nå integrerer vi v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

Vi skriver det i tabellen:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Vi setter inn i formelen:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Vi ser at vi ikke har hjulpet oss mye. I oppgaven har vi integralet av x · cos x, og nå har vi med metoden per partes kommet til integralet $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$. Dette går ikke.

Hvordan velge funksjonene u og v'

Dessverre finnes det ingen universell regel, du må ha litt teft. Det hjelper også å se på hva du skal gjøre med funksjonene videre. Grunnformelen vi går ut fra, ser slik ut:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Hvis vi integrerer en funksjon f som står på produktform, prøver vi å dele den opp i funksjonene u og v′ slik at f = u · v′. Målet med metoden per partes er at integralet på høyre side $\int u^{\prime }\cdot v$ skal være enklere enn integralet på venstre side. Uttrykket u · v interesserer oss ikke så mye, det kan være så komplisert det vil.

For å oppnå at integralet til høyre blir enklere, er det lurt å velge som u en funksjon som blir enklere når vi deriverer den. Typisk er det funksjoner av typen xⁿ, for der blir funksjonen én grad enklere ved derivasjon. Av x² får vi for eksempel 2x, og av x får vi 1, og det er helt ideelt.

Som v′ prøver vi derimot å ta noe som ikke blir mer komplisert når vi integrerer det. Vi kan vanligvis ikke vente at vi får en enklere funksjon når vi integrerer v′, men vi kan håpe på en funksjon som er omtrent like komplisert. Typisk er det sinus og cosinus, for den ene integreres til den andre, og det gjør oss ingenting.

Andre eksempel

Vi prøver et mer krevende eksempel:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Integralet av funksjonen e^x er igjen e^x, så den er den ideelle kandidaten til å integreres. Når vi derimot deriverer x², får vi 2x, som er et enklere uttrykk. Vi velger altså funksjonene slik:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Hele tabellen ser slik ut:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Vi setter inn i formelen:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Vi fikk et enklere integral, men vi klarer fortsatt ikke å regne det helt ut. Vi tar en runde med per partes til. Nå regner vi altså ut dette integralet:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Framgangsmåten blir den samme som i forrige steg. Vi velger funksjonene slik:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Og vi får:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Tallet 2 setter vi utenfor integralet, og vi får:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Og integralet av e^x er igjen e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Dette resultatet setter vi tilbake i den forrige likningen:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Etter innsetting får vi:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Og nå skriver vi bare om resultatet til en mer menneskelig form. Først fjerner vi parentesen ved å gange innholdet med −1, og så setter vi e^x utenfor:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Og så har vi resultatet.

Integralet av logaritmen

Dette er en gjenganger blant integraler som løses med delvis integrasjon. Se på oppgaven til dette legendariske integralet:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Det interessante med dette integralet er at selv om det ikke er noe produkt der, løser vi det med per partes. Rett og slett ved at vi ganger logaritmen med én. Dermed endrer vi ikke funksjonen vi integrerer, men vi får en multiplikasjon inn.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Hvordan velger vi funksjonene u og v′? Funksjonen ln x kan vi ikke integrere ennå (det er jo integralet av den vi leter etter), så logaritmen skal vi derivere. Vi skal integrere én. Av dette får vi:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Den deriverte til logaritmen er 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

og integralet av én er x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Vi fyller ut tabellen:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Og vi setter inn i formelen:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Vi regner ut integralet på høyre side:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Vi får dermed resultatet:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+C$$