Integração por partes

A integração por partes é usada quando queremos encontrar a primitiva de uma função que está na forma de produto.

Dedução da fórmula

Baseamos a dedução na fórmula clássica das derivadas.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Suponhamos, então, que temos as funções u e v e que elas são deriváveis em algum intervalo J, isto é, existem u′ e v′. Agora integramos os dois lados. Obtemos:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Do lado esquerdo podemos eliminar a integral e a derivada, porque, se derivamos uma função e depois a integramos de volta, obtemos a função original (a menos de uma constante c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Isolamos a integral em que derivamos a função v:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Ou seja, a função $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ é uma primitiva da função u · v′. Vamos aproveitar isso a seguir.

Primeiro exemplo

Vamos mostrar com um exemplo como usar o método da integração por partes. Vamos calcular a integral

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Esse tipo de exemplo não se resolve com os meios comuns que apresentamos no artigo básico sobre as integrais. Como a função dada está na forma de produto, usaremos o método da integração por partes.

Na fórmula

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

temos as funções u e v, que precisamos escolher de modo adequado. Ou seja, o que se pede de nós agora — pela fórmula anterior sabemos calcular a integral $\int u\cdot v^{\prime }$. No entanto, no enunciado não temos nada disso: ali temos x · cos x, e em lugar nenhum uma derivada de v, como a fórmula pede. Precisamos, assim, decompor a função x · cos x em um produto de duas funções. Declararemos que uma das funções será u e a outra, v′.

A escolha adequada é muito importante, porque com uma escolha ruim complicamos o procedimento. Veja o que obtemos no lado direito se usarmos a fórmula anterior. Com a expressão u · v não haverá problema, mas teremos de calcular a integral $\int u^{\prime }\cdot v$. Devemos, portanto, saber derivar a função u e saber integrar a função v′.

Escolhemos as funções assim:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Com isso obtivemos o lado esquerdo da equação, porque ele contém na integral justamente o produto u · v′. No lado direito temos, além disso, o produto u · v e outra integral. Precisamos, assim, calcular u′ e v. A derivada de u é simples:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Agora precisamos calcular v a partir de v′, isto é, integramos v′. Mais uma vez — nós escolhemos que v′ = cos x. No entanto, no lado direito da equação trabalhamos com o valor de v, sem derivada. Ou seja, se derivarmos esse v que está no integrando do lado direito da equação, devemos obter justamente o v′ que escolhemos no lado esquerdo da equação. Assim, procuramos uma função que, depois de derivada, seja igual a cos x. Dito de outro modo — integramos v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\mathrm{sen}x$$

Anotamos em uma tabela o que já conhecemos:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\mathrm{sen}x\end{array}\right]$$

Substituímos os valores dessa tabela na fórmula

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

e com isso obtemos isto:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \mathrm{sen}x-\int 1\cdot \mathrm{sen}x\text{ d}x$$

Vemos que conseguimos transformar a integral em outra forma, que já resolvemos com mais facilidade. Não vamos mais modificar a expressão x · sen x, apenas calcularemos a integral da direita. Essa já é uma integral imediata simples:

$$\int \mathrm{sen}x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Assim, podemos escrever que

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \mathrm{sen}x-\int 1\cdot \mathrm{sen}x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \mathrm{sen}x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \mathrm{sen}x+\cos x+c\end{array}$$

Esse já é o resultado.

Escolha ruim das funções

Vamos mostrar ainda neste exemplo o que aconteceria se escolhêssemos as funções u e v′ de outro modo. Antes escolhemos

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

então agora tentamos ao contrário:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Calculamos os valores de u′ e v. Obtemos:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\mathrm{sen}x$$

Agora integramos v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Anotamos em uma tabela:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\mathrm{sen}x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Substituímos na fórmula:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\mathrm{sen}x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Vemos que isso não ajudou muito. No enunciado temos a integral de x · cos x e agora, pelo método da integração por partes, chegamos à integral de $-\mathrm{sen}x\cdot \frac{x^2}{2}$. Por aqui não.

Como escolher as funções u e v'

Infelizmente não existe nenhuma regra universal; você precisa ter um pouco de intuição. Também ajuda olhar o que você vai fazer em seguida com essas funções. A fórmula básica da qual partimos é esta:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Se integramos uma função f que está na forma de produto, tentamos decompô-la nas funções u e v′ de modo que valha f = u · v′. O objetivo do método da integração por partes é que a integral do lado direito $\int u^{\prime }\cdot v$ seja mais simples que a integral do lado esquerdo. A expressão u · v não nos interessa muito, pois pode ser arbitrariamente complicada.

Para conseguir que a integral da direita seja mais simples, convém escolher para u uma função que se simplifique depois de derivada. Tipicamente, são funções do tipo xⁿ, cujo grau, depois da derivação, diminui em um. Por exemplo, de x² obtemos 2x e de x obtemos 1 — isso é absolutamente ideal.

Já para v′ tentamos tomar algo que, depois de integrado, não fique mais complicado. Em geral não podemos esperar que, depois de integrar v′, obtenhamos uma função mais simples, mas podemos esperar uma função de complexidade aproximadamente igual. Tipicamente são o seno e o cosseno, porque um se integra no outro, o que não nos incomoda.

Segundo exemplo

Vamos tentar um exemplo mais complicado:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

A integral da função e^x é novamente e^x, então ela será a candidata ideal para integrar. Já a derivada de x² nos dá 2x, que é uma expressão mais simples. Assim, escolhemos as funções deste modo:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

A tabela inteira ficará assim:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Substituímos na fórmula:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Obtivemos uma integral mais simples, mas ainda não somos capazes de calculá-la totalmente. Faremos mais uma rodada de integração por partes. Agora vamos, portanto, calcular esta integral:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

O procedimento será o mesmo do passo anterior. Escolhemos as funções assim:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

E obtemos:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Colocamos em evidência o número 2, passando-o para fora da integral, e obtemos:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

E a integral de e^x é novamente e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Substituímos esse resultado de volta na equação anterior:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Após a substituição obtemos:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

E agora basta ajustar um pouco o resultado para uma forma mais humana. Primeiro eliminamos os parênteses multiplicando seu conteúdo por −1 e depois colocamos e^x em evidência:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

E temos o resultado.

Integral do logaritmo

Este é um clássico da integração por partes. Contemple o enunciado de uma lenda das integrais:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

O interessante nessa integral é que, embora não haja ali nenhum produto, vamos resolvê-la por partes. Simplesmente multiplicando o logaritmo por um. Com isso não mudamos a função que integramos, mas obtemos ali uma multiplicação.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Como escolher as funções u e v′? Ainda não sabemos integrar a função ln x (justamente procuramos a sua integral), então vamos derivar o logaritmo. Integraremos o um. Disso obtemos:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

A derivada do logaritmo é 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

e a integral de um é x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Completamos a tabela:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

E substituímos na fórmula:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Calculamos a integral do lado direito:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Obtemos, assim, o resultado:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$