Kısmi İntegrasyon

Kısmi integrasyon (Latince per partes), çarpım biçimindeki bir fonksiyonun ilkel fonksiyonunu bulmak istediğimizde kullanılır.

Formülün Çıkarılması

Çıkarımı, klasik türev formülü üzerine kuracağız.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

u ve v fonksiyonlarımız olsun ve bir J aralığında türevlenebilir olsunlar, yani u′ ve v′ var olsun. Şimdi iki tarafın da integralini alalım. Şunu elde ederiz:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Sol taraftaki integrali ve türevi kaldırabiliriz, çünkü bir fonksiyonun türevini alıp sonra yeniden integralini alırsak asıl fonksiyonu buluruz (bir C sabiti dışında).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

v fonksiyonunun türevini aldığımız integrali yalnız bırakalım:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Demek ki $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ fonksiyonu, u · v′ fonksiyonunun ilkel fonksiyonudur. Bunu bundan sonra kullanacağız.

Birinci Örnek

Kısmi integrasyon yöntemini nasıl kullanacağımızı bir örnekle gösterelim. Şu integrali hesaplayalım:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Bu tür bir örnek, integral üzerine yazdığımız temel yazıda gördüğümüz sıradan yöntemlerle çözülemez. Verilen fonksiyon çarpım biçiminde olduğu için kısmi integrasyon yöntemini kullanacağız.

Şu formülde

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

u ve v fonksiyonları var ve bunları uygun biçimde seçmemiz gerekiyor. Yani şimdi bizden istenen şu — yukarıdaki formüle göre $\int u\cdot v^{\prime }$ integralini hesaplayabiliriz. Ancak soruda böyle bir şey yok, orada x · cos x var, formülün istediği gibi hiçbir yerde v’nin türevi yok. Bu yüzden x · cos x fonksiyonunu iki fonksiyonun çarpımına ayırmalıyız. Birine u, diğerine v′ diyeceğiz.

Uygun seçim çok önemlidir, çünkü yanlış seçersek işlemi daha da karmaşık hâle getiririz. Yukarıdaki formülü kullanırsak sağ tarafta ne elde ettiğimize bak. u · v ifadesi sorun çıkarmaz, ama $\int u^{\prime }\cdot v$ integralini hesaplamamız gerekecek. Yani u fonksiyonunun türevini alabilmeli, v′ fonksiyonunun da integralini alabilmeliyiz.

Fonksiyonları şöyle seçelim:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Böylece denklemin sol tarafını elde ettik, çünkü sol taraftaki integralde tam olarak u · v′ çarpımı var. Sağ tarafta ayrıca u · v çarpımı ve bir integral daha var. Bu yüzden u′ ve v’yi hesaplamalıyız. u’nun türevi basit:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Şimdi v′ fonksiyonundan v’yi hesaplamalıyız, yani v′ fonksiyonunun integralini alacağız. Bir kez daha — biz v′ = cos x seçtik. Ancak denklemin sağ tarafında v değeriyle, türevsiz hâliyle çalışıyoruz. Yani sağ taraftaki integralde bulunan bu v’nin türevini alırsak, sol taraftan seçtiğimiz v′ fonksiyonunu tam olarak elde etmeliyiz. Bu yüzden türevi alındığında cos x olan bir fonksiyon arıyoruz. Başka bir deyişle — v′ fonksiyonunun integralini alıyoruz.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Bildiklerimizi bir tabloya yazalım:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Bu tablodan formüle yerine koyalım:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

ve şunu elde ederiz:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

İntegrali daha kolay çözebileceğimiz başka bir biçime getirmeyi başardık. x · sin x ifadesini artık düzenlemeyeceğiz, yalnızca sağdaki integrali hesaplayacağız. Bu basit bir temel integral:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+C$$

O hâlde şunu yazabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+C\end{array}$$

Sonuç bu.

Yanlış Fonksiyon Seçimi

Bu örnekte u ve v′ fonksiyonlarını farklı seçseydik ne olacağını da gösterelim. Daha önce şunu seçmiştik:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

şimdi bunu tersine çevirerek deneyelim:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

u′ ve v değerlerini hesaplayalım. Şunu elde ederiz:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Şimdi v′ fonksiyonunun integralini alalım:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

Bunu tabloya yazalım:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Formüle yerine koyalım:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Pek işimize yaramadığını görüyoruz. Soruda x · cos x fonksiyonunun integrali vardı, şimdi kısmi integrasyonla $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$ integraline vardık. Bu yol olmadı.

u ve v′ Fonksiyonları Nasıl Seçilir?

Maalesef her duruma uyan bir kural yok, biraz sezgi gerekiyor. Bu fonksiyonlarla sonra ne yapacağına bakman da yardımcı olur. Çıkış noktamız olan temel formül şöyle görünüyor:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Çarpım biçimindeki bir f fonksiyonunun integralini alıyorsak, onu f = u · v′ olacak şekilde u ve v′ fonksiyonlarına ayırmaya çalışırız. Kısmi integrasyon yönteminin amacı, sağ taraftaki $\int u^{\prime }\cdot v$ integralinin sol taraftaki integralden daha basit olmasıdır. u · v ifadesi bizi pek ilgilendirmez, istediği kadar karmaşık olabilir.

Sağdaki integralin daha basit olmasını sağlamak için u olarak, türevi alındığında sadeleşen bir fonksiyon seçmek uygundur. Tipik olarak bunlar xⁿ türünden fonksiyonlardır; türevlerini alınca bir derece sadeleşirler. Örneğin x²’den 2x, x’ten 1 elde ederiz — bu tam ideal.

Buna karşılık v′ olarak, integrali alındığında daha karmaşık olmayacak bir şey seçmeye çalışırız. v′ fonksiyonunun integralini alınca genellikle daha basit bir fonksiyon bulmayı bekleyemeyiz, ama yaklaşık aynı karmaşıklıkta bir fonksiyon bulmayı umabiliriz. Tipik olarak bunlar sinüs ve kosinüstür, çünkü biri integral alınınca ötekine dönüşür ve bu bizi rahatsız etmez.

İkinci Örnek

Biraz daha karmaşık bir örnek deneyelim:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

e^x fonksiyonunun integrali yine e^x’tir, bu yüzden integral alınacak fonksiyon için ideal bir adaydır. Buna karşılık x²’nin türevi 2x’tir, bu daha basit bir ifadedir. O hâlde fonksiyonları şöyle seçelim:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Tablonun tamamı şöyle olur:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Formüle yerine koyalım:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Daha basit bir integral elde ettik, ama onu henüz tamamen hesaplayamıyoruz. Bir tur daha kısmi integrasyon yapacağız. Şimdi şu integrali hesaplayacağız:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

İşlem bir önceki adımdakiyle aynı. Fonksiyonları şöyle seçelim:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Ve şunu elde ederiz:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

2 sayısını integralin dışına çıkaralım:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

e^x’in integrali yine e^x’tir:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Bu sonucu önceki denklemde yerine koyalım:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Yerine koyunca şunu elde ederiz:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Şimdi sonucu biraz daha insanca bir biçime getirelim. Önce parantezin içini −1 ile çarparak parantezden kurtulalım, sonra e^x’i ortak çarpan parantezine alalım:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Sonuç bu.

Logaritmanın İntegrali

Bu, kısmi integrasyonun bir tür bitmeyen klasiği. İntegral dünyasının efsanesine bak:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Bu integralin ilginç yanı, hiç çarpım olmamasına rağmen kısmi integrasyonla çözecek olmamız. Logaritmayı 1 ile çarpmamız yeterli. Böylece integralini aldığımız fonksiyonu değiştirmeyiz, ama içeride bir çarpım elde ederiz.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

u ve v′ fonksiyonlarını nasıl seçelim? ln x fonksiyonunun integralini henüz alamıyoruz (onun integralini tam da arıyoruz), bu yüzden logaritmanın türevini alacağız. Birin integralini alacağız. Buradan şunu elde ederiz:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Logaritmanın türevi 1/x’tir:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

ve birin integrali x’tir:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Tabloyu dolduralım:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Ve formüle yerine koyalım:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Sağ taraftaki integrali hesaplayalım:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Böylece sonucu elde ederiz:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+C$$