Parciális integrálás

A parciális integrálást (más néven részenkénti integrálást, latinul per partes) akkor használjuk, ha olyan függvény primitív függvényét keressük, amely szorzat alakú.

A képlet levezetése

A levezetést a deriválási szabályokra alapozzuk.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Tegyük fel tehát, hogy adott az u és a v függvény, és ezek valamely J intervallumon deriválhatók, azaz létezik u′ és v′. Most mindkét oldalt integráljuk. Ezt kapjuk:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

A bal oldalon elhagyhatjuk az integrált és a deriváltat, mert ha egy függvényt deriválunk, majd visszaintegrálunk, akkor az eredeti függvényt kapjuk (egy c konstanstól eltekintve).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Fejezzük ki azt az integrált, amelyben a v függvényt deriváljuk:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Tehát az $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ függvény az u · v′ függvény primitív függvénye. Ezt fogjuk a továbbiakban használni.

Első példa

Egy példán megmutatjuk, hogyan használjuk a parciális integrálás módszerét. Számítsuk ki az

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

integrált. Ez a típusú feladat a szokásos eszközökkel, amelyeket az integrálról szóló alapcikkben bemutattunk, nem oldható meg. Mivel a megadott függvény szorzat alakú, a parciális integrálás módszerét alkalmazzuk.

A

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

képletben szerepel az u és a v függvény, ezeket megfelelően kell megválasztanunk. Mit várnak tehát tőlünk? A fenti képlet szerint az $\int u\cdot v^{\prime }$ integrált tudjuk kiszámítani. A feladatban viszont nincs ilyen, ott x · cos x áll, és sehol sincs a v deriváltja, ahogyan azt a képlet kívánja. Fel kell tehát bontanunk az x · cos x függvényt két függvény szorzatára. Az egyikről kijelentjük, hogy az u, a másikról pedig, hogy a v′.

A jó választás nagyon fontos, mert rossz választással inkább csak bonyolítjuk a megoldást. Nézd meg, mit kapunk a jobb oldalon, ha az előző képletet használjuk. Az u · v kifejezéssel nem lesz gond, de ki kell számítanunk az $\int u^{\prime }\cdot v$ integrált. Az u függvényt tehát deriválni kell tudnunk, a v′ függvényt pedig integrálni.

A függvényeket így választjuk meg:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Ezzel megkaptuk az egyenlet bal oldalát, mert az integrálban éppen az u · v′ szorzat áll. A jobb oldalon az u · v szorzat és egy további integrál szerepel. Ki kell tehát számítanunk az u′-t és a v-t. Az u deriváltja egyszerű:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Most a v′-ből kell kiszámítanunk a v-t, vagyis integrálnunk kell a v′-t. Még egyszer: mi azt választottuk, hogy v′ = cos x. A jobb oldalon viszont a v értékével dolgozunk, derivált nélkül. Vagyis ha a jobb oldali integrandusban szereplő v-t deriváljuk, éppen a bal oldalon megválasztott v′-t kell kapnunk. Olyan függvényt keresünk tehát, amelynek a deriváltja cos x. Más szóval: integráljuk a v′-t.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Írjuk táblázatba, amit már tudunk:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Ebből a táblázatból behelyettesítünk a

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

képletbe, így ezt kapjuk:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Látjuk, hogy az integrált sikerült más alakra hozni, amelyet már könnyebben megoldunk. Az x · sin x kifejezést tovább nem alakítjuk, csak a jobb oldali integrált számítjuk ki. Ez már egyszerű alapintegrál:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Így felírhatjuk, hogy

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+c\end{array}$$

Ez már az eredmény.

Rossz választás

Ezen a példán megmutatjuk azt is, mi történne, ha az u és a v′ függvényt másképp választanánk meg. Az előbb ezt választottuk:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

most tehát próbáljuk meg fordítva:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Számítsuk ki az u′ és a v értékét. Ezt kapjuk:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Most integráljuk a v′-t:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Írjuk be a táblázatba:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Helyettesítsünk be a képletbe:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Látjuk, hogy sokat nem segítettünk magunkon. A feladatban az x · cos x integrálja szerepel, most pedig a parciális integrálással eljutottunk a $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$ integráljához. Ez nem járható út.

Hogyan válasszuk meg az u és a v' függvényt

Sajnos nincs általános szabály, egy kis érzék kell hozzá. Az is segít, ha megnézed, mit fogsz majd csinálni a függvényekkel. Az alapképlet, amelyből kiindulunk, így néz ki:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Ha egy szorzat alakú f függvényt integrálunk, megpróbáljuk felbontani u-ra és v′-re úgy, hogy f = u · v′ teljesüljön. A parciális integrálás célja, hogy a jobb oldali $\int u^{\prime }\cdot v$ integrál egyszerűbb legyen, mint a bal oldali. Az u · v kifejezés minket nem nagyon érdekel, az tetszőlegesen bonyolult lehet.

Hogy a jobb oldali integrál egyszerűbb legyen, érdemes u-nak olyan függvényt választani, amely deriválás után egyszerűsödik. Tipikusan ilyenek az xⁿ típusú függvények, ezeknél deriváláskor eggyel csökken a kitevő. Például az x²-ből 2x lesz, az x-ből pedig 1 – ez egyenesen ideális.

A v′-nek viszont olyat igyekszünk választani, ami integrálás után nem lesz bonyolultabb. Általában nem várhatjuk, hogy a v′ integrálásával egyszerűbb függvényt kapunk, de remélhetjük, hogy nagyjából ugyanolyan bonyolultat. Tipikusan ilyen a szinusz és a koszinusz, mert az egyik a másikba megy át integráláskor, ami nem zavar minket.

Második példa

Próbáljunk ki egy bonyolultabb példát:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Az e^x függvény integrálja megint e^x, ezért ez ideális jelölt az integrálásra. Az x² deriváltja viszont 2x, ami egyszerűbb kifejezés. Tehát a függvényeket így választjuk:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

A teljes táblázat így fog kinézni:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Behelyettesítünk a képletbe:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Egyszerűbb integrált kaptunk, de még mindig nem tudjuk teljesen kiszámítani. Újabb kör parciális integrálás következik. Most tehát ezt az integrált számítjuk ki:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Az eljárás ugyanaz, mint az előző lépésben. A függvényeket így választjuk:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

És ezt kapjuk:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

A 2-t kiemeljük az integrál elé, és ezt kapjuk:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Az e^x integrálja pedig megint e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Ezt az eredményt visszahelyettesítjük az előző egyenletbe:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Behelyettesítés után ezt kapjuk:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Most már csak egy kicsit átalakítjuk az eredményt emberibb alakra. Először megszüntetjük a zárójelet úgy, hogy a tartalmát megszorozzuk −1-gyel, majd kiemeljük az e^x-et:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

És megvan az eredmény.

A logaritmus integrálja

Ez a parciális integrálás egyik örökzöldje. Íme ez a legendás integrál:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Az érdekes ebben az integrálban az, hogy bár nincs benne szorzat, mégis parciális integrálással oldjuk meg. Egyszerűen úgy, hogy a logaritmust megszorozzuk eggyel. Ezzel nem változtatjuk meg az integrálandó függvényt, de megjelenik benne a szorzás.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Hogyan válasszuk meg az u és a v′ függvényt? Az ln x függvényt integrálni egyelőre nem tudjuk (éppen az integrálját keressük), ezért a logaritmust deriválni fogjuk. Az egyest pedig integrálni. Ebből adódik:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

A logaritmus deriváltja 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

az egyes integrálja pedig x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Kitöltjük a táblázatot:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

És behelyettesítünk a képletbe:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Kiszámítjuk a jobb oldali integrált:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Így az eredmény:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$