Integrazione per parti

L’integrazione per parti si usa quando vogliamo trovare una primitiva di una funzione che ha la forma di un prodotto.

Dimostrazione della formula

Partiamo dalla classica formula per la derivata di un prodotto.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Supponiamo quindi di avere due funzioni u e v derivabili in un intervallo J, cioè che esistano u′ e v′. Ora integriamo entrambi i membri. Otteniamo:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Al primo membro possiamo eliminare l’integrale e la derivata, perché se deriviamo una funzione e poi la integriamo, otteniamo di nuovo la funzione di partenza (a meno di una costante c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Isoliamo l’integrale in cui compare la derivata della funzione v:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

La funzione $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ è dunque una primitiva della funzione u · v′. Lo useremo d’ora in avanti.

Primo esempio

Con un esempio vediamo come si usa il metodo di integrazione per parti. Calcoliamo l’integrale

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Questo tipo di integrale non si può risolvere con i mezzi ordinari che abbiamo presentato nell’articolo di base sugli integrali. Poiché la funzione data è un prodotto, usiamo l’integrazione per parti.

Nella formula

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

compaiono le funzioni u e v, che dobbiamo scegliere in modo opportuno. Che cosa ci viene richiesto? Secondo la formula precedente sappiamo calcolare l’integrale $\int u\cdot v^{\prime }$. Nel testo dell’esercizio, però, non abbiamo niente del genere: c’è x · cos x, e da nessuna parte la derivata di v richiesta dalla formula. Dobbiamo perciò scomporre la funzione x · cos x nel prodotto di due funzioni. Di una diremo che è u e dell’altra che è v′.

Una scelta opportuna è molto importante, perché con una scelta sbagliata il procedimento si complica invece di semplificarsi. Guarda che cosa otteniamo al secondo membro con la formula precedente. Con l’espressione u · v non ci sono problemi, ma dovremo calcolare l’integrale $\int u^{\prime }\cdot v$. Dobbiamo quindi saper derivare la funzione u e saper integrare la funzione v′.

Scegliamo le funzioni così:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

In questo modo abbiamo ottenuto il primo membro, perché contiene nell’integrale proprio il prodotto u · v′. Al secondo membro abbiamo poi il prodotto u · v e un altro integrale. Dobbiamo quindi calcolare u′ e v. La derivata di u è semplice:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Ora da v′ dobbiamo calcolare v, cioè integriamo v′. Ripetiamo: abbiamo scelto v′ = cos x. Al secondo membro, però, lavoriamo con il valore di v, senza la derivata. In altre parole, se deriviamo la v che si trova nella funzione integranda al secondo membro, dobbiamo ottenere proprio la v′ che abbiamo scelto al primo membro. Cerchiamo quindi una funzione che, derivata, sia uguale a cos x. Detto in un altro modo: integriamo v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\mathrm{sen}x$$

Scriviamo in una tabella ciò che già conosciamo:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\mathrm{sen}x\end{array}\right]$$

Da questa tabella sostituiamo nella formula

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

e otteniamo:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \mathrm{sen}x-\int 1\cdot \mathrm{sen}x\text{ d}x$$

Vediamo che siamo riusciti a trasformare l’integrale in un’altra forma, che ora risolviamo più facilmente. L’espressione x · sen x non la modifichiamo ulteriormente, calcoliamo soltanto l’integrale a destra. Questo è un semplice integrale immediato:

$$\int \mathrm{sen}x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Possiamo quindi scrivere che

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \mathrm{sen}x-\int 1\cdot \mathrm{sen}x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \mathrm{sen}x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \mathrm{sen}x+\cos x+c\end{array}$$

Questo è il risultato.

Una scelta sbagliata delle funzioni

Su questo stesso esempio vediamo che cosa succederebbe se scegliessimo le funzioni u e v′ in modo diverso. Prima avevamo scelto

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

ora proviamo al contrario:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Calcoliamo i valori di u′ e v. Otteniamo:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\mathrm{sen}x$$

Ora integriamo v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Lo scriviamo in una tabella:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\mathrm{sen}x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Sostituiamo nella formula:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\mathrm{sen}x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Vediamo che non abbiamo guadagnato molto. Nel testo abbiamo l’integrale di x · cos x e ora, con l’integrazione per parti, siamo arrivati all’integrale di $-\mathrm{sen}x\cdot \frac{x^2}{2}$. Questa strada non va bene.

Come scegliere le funzioni u e v'

Purtroppo non esiste una regola universale: ci vuole un po’ di intuito. Aiuta anche guardare che cosa farai in seguito con quelle funzioni. La formula di base da cui partiamo è questa:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Se integriamo una funzione f che ha la forma di un prodotto, cerchiamo di scomporla nelle funzioni u e v′ in modo che valga f = u · v′. Lo scopo dell’integrazione per parti è che l’integrale al secondo membro $\int u^{\prime }\cdot v$ sia più semplice dell’integrale al primo membro. L’espressione u · v ci interessa poco: può essere complicata quanto vuole.

Per ottenere un integrale più semplice a destra, conviene scegliere come u una funzione che si semplifica quando la deriviamo. Tipicamente sono le funzioni del tipo xⁿ: derivandole, l’esponente si abbassa di uno. Per esempio da x² otteniamo 2x e da x otteniamo 1, che è assolutamente l’ideale.

Come v′, invece, cerchiamo di prendere qualcosa che integrato non diventi più complicato. Di solito non possiamo aspettarci che l’integrazione di v′ dia una funzione più semplice, ma possiamo sperare in una funzione complicata più o meno quanto prima. Tipicamente sono il seno e il coseno, perché uno si integra nell’altro, e questo non ci crea problemi.

Secondo esempio

Proviamo con un esempio più complicato:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

L’integrale della funzione e^x è ancora e^x, quindi è il candidato ideale da integrare. Invece derivando x² otteniamo 2x, che è un’espressione più semplice. Scegliamo quindi le funzioni così:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

L’intera tabella sarà:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Sostituiamo nella formula:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Abbiamo ottenuto un integrale più semplice, ma non siamo ancora in grado di calcolarlo del tutto. Applichiamo di nuovo l’integrazione per parti. Calcoliamo quindi questo integrale:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Il procedimento è lo stesso del passo precedente. Scegliamo le funzioni così:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

e otteniamo:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Il numero 2 lo raccogliamo davanti all’integrale e otteniamo:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

E l’integrale di e^x è ancora e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Sostituiamo questo risultato nell’equazione precedente:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Dopo la sostituzione otteniamo:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Ora non ci resta che sistemare un po’ il risultato per renderlo più leggibile. Prima eliminiamo la parentesi moltiplicando il suo contenuto per −1, poi raccogliamo e^x:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Ed ecco il risultato.

Integrale del logaritmo

Questo è un evergreen dell’integrazione per parti. Ecco il testo di una vera leggenda degli integrali:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

La cosa interessante di questo integrale è che, anche se non c’è nessun prodotto, lo risolviamo con l’integrazione per parti. Basta moltiplicare il logaritmo per uno: non cambiamo la funzione che integriamo, ma otteniamo una moltiplicazione.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Come scegliere le funzioni u e v′? La funzione ln x per ora non sappiamo integrarla (stiamo proprio cercando il suo integrale), quindi il logaritmo lo deriveremo. Integreremo invece l’uno. Da questo ricaviamo:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

La derivata del logaritmo è 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

e l’integrale di uno è x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Completiamo la tabella:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

E sostituiamo nella formula:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Calcoliamo l’integrale al secondo membro:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Otteniamo così il risultato:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$