置換積分法

置換積分法は、積分のとても強力な方法です。積分するときに、関数の一部を別の関数に置き換えて積分し、最後に元に戻します。

基本の公式

区間 J で関数 f とその原始関数 F があるとします。さらに、区間 I で微分可能で、ϕ(I) ⊆ J を満たす実数の関数 ϕ があるとします。このとき、次が成り立ちます。

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

左辺から右辺にどうやって移ったのでしょうか。

この定理は、x = ϕ(t) と置き換えて、積分変数を変える、つまり dt を dx にする、という使い方をします。x を t で微分すると $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$ なので、dx = ϕ′(t) dt です。そこで、左辺の積分の ϕ(t) を x に、積 ϕ′(t) dt 全体を dx に置き換えます。

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

さらに、仮定から F は関数 f の原始関数なので、積分全体を関数 F に置き換えられます。

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

最後に置き換えを元に戻し、x の代わりに元の ϕ(t) を書きます。

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

こうして、最初の等式が得られました。

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

この定理は、だいたいこのように使います。

例題1

次の積分を計算しなさい。

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

sin x（ここでは sin t）の積分の公式は知っていますが、sin 6t の公式は知りません。そこで置き換えを使います。x = 6t と置き換えます。前の公式によれば、次が成り立ちます。

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

ここで x = ϕ(t) です。この例では f = sin、ϕ(t) = 6t です。したがって、公式から次の関係が成り立ちます。

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

ここで x = 6t です。問題は、求めたいのが (sin 6t) · (6t)′ の積分ではなく、sin 6t の積分だということです。どうすればよいでしょうか。関数 6t を微分してみましょう。すると次のようになります。

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

6は定数なので、積分全体の前にくくり出せます。

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

ここで両辺を6で割ります。

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

左辺は、最初に計算したかった元の関数になりました。あとは右辺の積分を計算するだけです。sin x の積分は −cos x です。

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

そして、x を 6t にもどします。

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

これで答えが出ました。

例題1をもっと簡単に

前の手順は正しいのですが、ふつうは置き換えを少し違う書き方で書きます。もう一度問題です。

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

置き換えを、積分のあとのかっこに次のように書きます。

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

1行目には置き換え、つまり x = 6t を書きます。次に、両辺を微分します。左辺は x で、右辺は t で微分します。1列目の2行目はいつも dx になります。x を微分するといつも 1 になるからです。記号 dx は、x で微分したことを表しているだけです。

右辺は、ふつうに t で微分します。(6t)′ = 6 となり、t で微分したので dt を書き加えます。手間を省きたければ、dt について解いた式も書き加えておくとよいでしょう。

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

次の段階で、実際に置き換えます。何を何に置き換えるのでしょうか。6t を x にしたいので、これが1つ目の置き換えです。関数に新しい変数 x を代入するので、同時に dt も変えなければなりません。そこで、dt の代わりに3行目で求めた式、つまり dx/6 を代入します。

まとめると、6t の代わりに x（1行目）を、dt の代わりに dx/6（3行目）を書きます。すると次のようになります。

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

ここから先の手順はふつうどおりです。6を積分の前にくくり出します。

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

サインを積分します。

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

そして、x を 6t にもどします。

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

例題2

置換積分法で次の積分を計算しなさい。

$$\int \tan t\text{ d}t$$

タンジェントの積分は表に載っているかもしれませんが、自分で計算することもできます。まず、タンジェントを商 sin/cos に分けます。

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

置き換えを x = cos t とします。すると次のようになります。

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

さらに、dt について解きます。

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

これで積分に代入できます。cos t の代わりに x を、dt の代わりに −dx/sin t を書きます。

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

小さな問題は、前の積分変数 t がサインの中に残っていることです。しかし、うまい具合に2つのサインが約分され、次の式が残ります。

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

もっときれいな式になるように、少し書き直しましょう。dx を分数の後ろに移し、分子に1を書きます。マイナスは積分の前に出します。

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

1/x の積分はもう知っています。対数関数です。したがって、次のようになります。

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\log |x|$$

そして、x を元の cos t にもどします。

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\log |x|=-\log |\cos t|+c$$

例題3

置換積分法で次の積分を計算しなさい。

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

被積分関数に x と t の2つの変数があるので、戸惑うかもしれません。しかし、まったく問題ありません。dt から変数 t で積分することがわかるので、x は定数として扱えます。怖がらずに x を積分の前に出しましょう。

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

sin³ の公式はあまりありませんが、sin² なら使える公式があるので、関数を次のように変形します。

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

ここで、sin² を公式 sin²t = (1 − cos²t) で書きかえます。すると次の積分になります。

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

ここで置き換えをします。変数 x はもう使っているので、たとえば y を使います。y = cos t とします。

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

dt について解きます。

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

積分に代入します。

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

ここでもサインがきれいに約分されます。

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

この積分は2つの積分に分けられます。

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

あとはどれも公式どおりです。

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

ここで、y を元の cos t にもどします。

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

これが最終的な答えです。