Integración por partes

La integración por partes, en latín per partes, se usa cuando queremos hallar la primitiva de una función que tiene forma de producto.

Deducción de la fórmula

Basaremos la deducción en la fórmula de la derivada del producto.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Supongamos, por tanto, que tenemos las funciones u y v y que son derivables en algún intervalo J, es decir, que existen u′ y v′. Ahora integramos ambos miembros. Obtenemos:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

En el primer miembro podemos quitar la integral y la derivada, porque si derivamos una función y después la integramos de nuevo, obtenemos la función original (salvo una constante c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Despejamos la integral en la que derivamos la función v:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Así pues, la función $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ es una primitiva de la función u · v′. Lo usaremos a partir de ahora.

Primer ejemplo

Con un ejemplo mostraremos cómo se usa el método de integración por partes. Calcularemos la integral

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Este tipo de ejemplo no se puede resolver con los medios habituales que presentamos en el artículo básico sobre las integrales. Como la función dada tiene forma de producto, usaremos el método de integración por partes.

En la fórmula

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

tenemos las funciones u y v, que tenemos que elegir de forma adecuada. Es decir, lo que se nos pide ahora es lo siguiente: según la fórmula anterior sabemos calcular la integral $\int u\cdot v^{\prime }$. Sin embargo, en el enunciado no tenemos nada parecido, tenemos x · cos x, y en ninguna parte aparece la derivada de v que pide la fórmula. Tenemos que descomponer, por tanto, la función x · cos x en un producto de dos funciones. De una función diremos que será u y de la otra, v′.

La elección adecuada es muy importante, porque con una mala elección más bien nos complicaremos el procedimiento. Fíjate en lo que obtenemos en el segundo miembro si usamos la fórmula anterior. Con la expresión u · v no habrá problema, pero tendremos que calcular la integral $\int u^{\prime }\cdot v$. Así que deberíamos saber derivar la función u y deberíamos saber integrar la función v′.

Elegimos las funciones así:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Con ello hemos obtenido el primer miembro de la ecuación, porque contiene en la integral precisamente el producto u · v′. En el segundo miembro tenemos además el producto u · v y otra integral. Tenemos que calcular, por tanto, u′ y v. La derivada de u es sencilla:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Ahora tenemos que calcular v a partir de v′, es decir, integramos v′. Una vez más: hemos elegido que v′ = cos x. Sin embargo, en el segundo miembro de la ecuación trabajamos con el valor de v, sin derivada. Es decir, si derivamos esa v que se encuentra en el integrando del segundo miembro, tenemos que obtener precisamente la v′ que elegimos en el primer miembro. Así que buscamos una función que al derivarla sea igual a cos x. Dicho de otro modo, integramos v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\mathrm{sen}x$$

Anotamos en una tabla lo que ya conocemos:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\mathrm{sen}x\end{array}\right]$$

De esta tabla sustituimos en la fórmula

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

con lo que obtenemos esto:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \mathrm{sen}x-\int 1\cdot \mathrm{sen}x\text{ d}x$$

Vemos que hemos conseguido transformar la integral en otra forma que ya resolveremos con más facilidad. La expresión x · sen x ya no la modificaremos más, solo calculamos la integral de la derecha. Es una integral inmediata sencilla:

$$\int \mathrm{sen}x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Así que podemos escribir que

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \mathrm{sen}x-\int 1\cdot \mathrm{sen}x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \mathrm{sen}x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \mathrm{sen}x+\cos x+c\end{array}$$

Ese es el resultado.

Mala elección de las funciones

Probemos a mostrar con este mismo ejemplo qué ocurriría si eligiéramos las funciones u y v′ de otra manera. Antes elegimos

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

así que ahora lo probamos al revés:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Calculamos los valores de u′ y v. Obtenemos:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\mathrm{sen}x$$

Ahora integramos v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Lo anotamos en la tabla:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\mathrm{sen}x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Sustituimos en la fórmula:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\mathrm{sen}x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Vemos que no hemos ganado mucho. En el enunciado tenemos la integral de x · cos x y ahora, con el método de integración por partes, hemos llegado a la integral de $-\mathrm{sen}x\cdot \frac{x^2}{2}$. Por aquí no.

Cómo elegir las funciones u y v'

Por desgracia no existe ninguna regla universal, hay que tener un poco de intuición. También ayuda fijarse en lo que haremos después con esas funciones. La fórmula básica de la que partimos es la siguiente:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Si integramos una función f que tiene forma de producto, intentamos descomponerla en las funciones u y v′ de manera que se cumpla f = u · v′. El objetivo del método de integración por partes es que la integral del segundo miembro, $\int u^{\prime }\cdot v$, sea más sencilla que la integral del primer miembro. La expresión u · v no nos interesa demasiado, puede ser tan complicada como quiera.

Para conseguir que la integral de la derecha sea más sencilla, conviene elegir como u una función que se simplifique al derivarla. Normalmente son funciones del tipo xⁿ, que al derivarlas bajan un grado. Por ejemplo, de x² obtenemos 2x y de x obtenemos 1, lo cual es ideal.

En cambio, como v′ intentamos tomar algo que al integrarlo no se vuelva más complicado. No podemos esperar normalmente que al integrar v′ obtengamos una función más sencilla, pero podemos confiar en obtener una función más o menos igual de complicada. Normalmente son el seno y el coseno, porque uno se integra en el otro, y eso no nos molesta.

Segundo ejemplo

Probemos un ejemplo más complicado:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

La integral de la función e^x es de nuevo e^x, así que es una candidata ideal para integrar. En cambio, al derivar x² obtenemos 2x, que es una expresión más sencilla. Elegimos, por tanto, las funciones así:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

La tabla completa será así:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Sustituimos en la fórmula:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Hemos obtenido una integral más sencilla, pero todavía no somos capaces de calcularla del todo. Haremos otra ronda de integración por partes. Calcularemos ahora esta integral:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

El procedimiento será el mismo que en el paso anterior. Elegimos las funciones así:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Y obtenemos:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

El número 2 lo sacamos fuera de la integral y obtenemos:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Y la integral de e^x es de nuevo e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Este resultado lo sustituimos de vuelta en la ecuación anterior:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Tras sustituir obtenemos:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Y ahora solo arreglamos un poco el resultado para dejarlo en una forma más humana. Primero quitamos el paréntesis multiplicando su contenido por −1 y después sacamos factor común e^x:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Y tenemos el resultado.

Integral del logaritmo

Este es todo un clásico de la integración por partes. Mira el enunciado de esta leyenda de las integrales:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Lo interesante de esta integral es que, aunque no hay en ella ningún producto, la resolveremos mediante integración por partes. Sencillamente multiplicando el logaritmo por uno. Con ello no cambiamos la función que integramos, pero conseguimos que aparezca una multiplicación.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

¿Cómo elegimos las funciones u y v′? La función ln x todavía no sabemos integrarla (justo estamos buscando su integral), así que derivaremos el logaritmo. Integraremos el uno. De ahí obtenemos:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

La derivada del logaritmo es 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

y la integral de uno es x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Completamos la tabla:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Y sustituimos en la fórmula:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Calculamos la integral del segundo miembro:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Obtenemos así el resultado:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$