Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointia (latinaksi per partes) käytetään, kun halutaan löytää integraalifunktio funktiolle, joka on tulomuodossa.

Kaavan johtaminen

Johtaminen perustuu klassiseen derivointikaavaan.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Oletetaan siis, että on funktiot u ja v ja että ne ovat derivoituvia jollakin välillä J, eli u′ ja v′ ovat olemassa. Integroidaan nyt molemmat puolet. Saadaan:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Vasemmalta puolelta voidaan poistaa integraali ja derivaatta, koska jos funktio derivoidaan ja sitten integroidaan takaisin, saadaan alkuperäinen funktio (vakiota c lukuun ottamatta).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Ratkaistaan integraali, jossa funktio v derivoidaan:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Funktio $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ on siis funktion u · v′ integraalifunktio. Tätä käytetään jatkossa.

Ensimmäinen esimerkki

Esimerkin avulla nähdään, miten osittaisintegrointimenetelmää käytetään. Lasketaan integraali

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Tämäntyyppistä tehtävää ei voi ratkaista tavallisilla keinoilla, jotka esiteltiin integraalia käsittelevässä perusartikkelissa. Koska annettu funktio on tulomuodossa, käytetään osittaisintegrointia.

Kaavassa

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

on funktiot u ja v, ja ne täytyy valita sopivasti. Mitä siis nyt vaaditaan – edellisen kaavan mukaan osataan laskea integraali $\int u\cdot v^{\prime }$. Tehtävänannossa ei kuitenkaan ole mitään sellaista, siinä on x · cos x, eikä missään ole funktion v derivaattaa, jota kaava vaatii. Funktio x · cos x täytyy siis jakaa kahden funktion tuloksi. Toinen funktioista nimetään u:ksi ja toinen v′:ksi.

Sopiva valinta on hyvin tärkeä, koska huonolla valinnalla menettely vain mutkistuu. Katso, mitä saadaan oikealle puolelle, kun käytetään edellistä kaavaa. Lauseke u · v ei tuota ongelmia, mutta täytyy laskea integraali $\int u^{\prime }\cdot v$. Funktio u pitäisi siis osata derivoida ja funktio v′ pitäisi osata integroida.

Valitaan funktiot näin:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Näin saatiin yhtälön vasen puoli, koska sen integraalissa on juuri tulo u · v′. Oikealla puolella on lisäksi tulo u · v ja toinen integraali. Täytyy siis laskea u′ ja v. Funktion u derivaatta on helppo:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Nyt funktiosta v′ täytyy laskea v, eli integroidaan v′. Vielä kerran – valittiin, että v′ = cos x. Yhtälön oikealla puolella kuitenkin työskennellään arvon v kanssa, ilman derivaattaa. Jos siis derivoidaan se v, joka on yhtälön oikean puolen integroitavassa funktiossa, täytyy saada juuri valittu v′ yhtälön vasemmalta puolelta. Etsitään siis funktio, joka on derivoituna cos x. Toisin sanoen integroidaan v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Kirjoitetaan taulukkoon, mitä jo tiedetään:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Tästä taulukosta sijoitetaan kaavaan

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

jolloin saadaan:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Nähdään, että integraali saatiin muutettua toiseen muotoon, jonka ratkaiseminen on helpompaa. Lauseketta x · sin x ei muokata enempää, vaan lasketaan loppuun oikealla oleva integraali. Se on jo helppo perusintegraali:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Voidaan siis kirjoittaa, että

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+c\end{array}$$

Tämä on jo tulos.

Huono funktioiden valinta

Kokeillaan vielä tässä esimerkissä, mitä tapahtuisi, jos funktiot u ja v′ valittaisiin toisin. Aiemmin valittiin

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

joten kokeillaan nyt päinvastoin:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Lasketaan arvot u′ ja v. Saadaan:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Nyt integroidaan v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Kirjoitetaan se taulukkoon:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Sijoitetaan kaavaan:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Nähdään, ettei siitä ollut paljon apua. Tehtävänannossa on funktion x · cos x integraali, ja nyt osittaisintegroinnilla päädyttiin integraaliin $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$. Tätä tietä ei kannata edetä.

Miten funktiot u ja v' valitaan

Valitettavasti yleispätevää sääntöä ei ole, vaan tarvitaan hieman tuntumaa. Auttaa myös, kun katsot, mitä funktioille tehdään seuraavaksi. Peruskaava, josta lähdetään liikkeelle, on tämä:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Kun integroidaan funktiota f, joka on tulomuodossa, se pyritään jakamaan funktioiksi u ja v′ niin, että f = u · v′. Osittaisintegroinnin tavoitteena on, että oikean puolen integraali $\int u^{\prime }\cdot v$ on yksinkertaisempi kuin vasemman puolen integraali. Lauseke u · v ei juuri kiinnosta, se saa olla kuinka monimutkainen tahansa.

Jotta oikealla oleva integraali olisi yksinkertaisempi, kannattaa valita u:ksi sellainen funktio, joka yksinkertaistuu derivoitaessa. Tyypillisesti tällaisia ovat tyypin xⁿ funktiot, joiden aste pienenee derivoitaessa yhdellä. Esimerkiksi funktiosta x² saadaan 2x ja funktiosta x saadaan 1 – se on aivan ihanteellista.

Funktioksi v′ taas pyritään valitsemaan jotain, mikä ei integroitaessa mutkistu. Yleensä ei voida odottaa, että v′:n integroinnista saadaan yksinkertaisempi funktio, mutta voidaan toivoa suunnilleen yhtä monimutkaista funktiota. Tyypillisesti tällaisia ovat sini ja kosini, koska toinen integroituu toiseksi, mikä ei haittaa.

Toinen esimerkki

Kokeillaan monimutkaisempaa esimerkkiä:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Funktion e^x integraali on jälleen e^x, joten se on ihanteellinen integroitava. Funktion x² derivaatta taas on 2x, joka on yksinkertaisempi lauseke. Valitaan siis funktiot näin:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Koko taulukko on tällainen:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Sijoitetaan kaavaan:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Saatiin yksinkertaisempi integraali, mutta sitä ei vielä osata laskea kokonaan. Tehdään toinen osittaisintegrointikierros. Lasketaan siis tämä integraali:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Menettely on sama kuin edellisessä vaiheessa. Valitaan funktiot näin:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Ja saadaan:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Luku 2 siirretään integraalin eteen, ja saadaan:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Ja funktion e^x integraali on jälleen e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Tämä tulos sijoitetaan takaisin edelliseen yhtälöön:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Sijoituksen jälkeen saadaan:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Nyt tulos vielä muokataan inhimillisempään muotoon. Ensin poistetaan sulut kertomalla niiden sisältö luvulla −1 ja sitten otetaan e^x yhteiseksi tekijäksi:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Ja tulos on valmis.

Logaritmin integraali

Tämä on osittaisintegroinnin ikivihreä. Tässä on integraalien legendan tehtävänanto:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Tässä integraalissa on mielenkiintoista, että vaikka siinä ei ole tuloa, se ratkaistaan osittaisintegroinnilla. Se onnistuu yksinkertaisesti kertomalla logaritmi ykkösellä. Integroitava funktio ei muutu, mutta mukaan saadaan kertolasku.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Miten funktiot u ja v′ valitaan? Funktiota ln x ei vielä osata integroida (sen integraalia juuri etsitään), joten logaritmi derivoidaan. Integroidaan ykkönen. Tästä saadaan:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Logaritmin derivaatta on 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

ja ykkösen integraali on x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Täydennetään taulukko:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Ja sijoitetaan kaavaan:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Lasketaan oikean puolen integraali:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Näin saadaan tulos:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$