Partiële integratie

Partiële integratie (ook “integreren per partes” genoemd) wordt gebruikt als we een primitieve functie willen vinden van een functie die de vorm van een product heeft.

Afleiding van de formule

We baseren de afleiding op de klassieke formule voor afgeleiden.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Stel dus dat we functies u en v hebben en dat ze op een interval J differentieerbaar zijn, dus dat u′ en v′ bestaan. Nu integreren we beide kanten. We krijgen:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Links kunnen we de integraal en de afgeleide weglaten, want als we een functie differentiëren en daarna weer integreren, krijgen we de oorspronkelijke functie (op de constante c na).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

We maken de integraal vrij waarin we de functie v differentiëren:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

De functie $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ is dus een primitieve functie van de functie u · v′. Dit gaan we verderop gebruiken.

Eerste voorbeeld

Aan de hand van een voorbeeld laten we zien hoe we de methode van partiële integratie gebruiken. We berekenen de integraal

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Dit type voorbeeld is met de gewone middelen die we in het basisartikel over integralen hebben laten zien, niet op te lossen. Omdat de gegeven functie de vorm van een product heeft, gebruiken we de methode van partiële integratie.

In de formule

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

hebben we de functies u en v, die moeten we op een geschikte manier kiezen. Wat wordt er nu van ons gevraagd — volgens de vorige formule kunnen we de integraal $\int u\cdot v^{\prime }$ berekenen. In de opgave hebben we echter zoiets niet, daar hebben we x · cos x, nergens een afgeleide van v, zoals de formule van ons vraagt. We moeten de functie x · cos x dus splitsen in een product van twee functies. De ene functie noemen we u en de andere v′.

Een goede keuze is erg belangrijk, want bij een verkeerde keuze maken we de werkwijze eerder ingewikkelder. Kijk wat we rechts krijgen als we de vorige formule gebruiken. Met de uitdrukking u · v hebben we geen probleem, maar we moeten de integraal $\int u^{\prime }\cdot v$ berekenen. De functie u moeten we dus kunnen differentiëren en de functie v′ moeten we kunnen integreren.

We kiezen de functies zo:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Daarmee hebben we de linkerkant van de vergelijking, want die bevat in de integraal juist het product u · v′. Aan de rechterkant hebben we verder het product u · v en nog een integraal. We moeten dus u′ en v berekenen. De afgeleide van u is eenvoudig:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Nu moeten we uit v′ de functie v berekenen, dus we integreren v′. Nog een keer — wij hebben gekozen dat v′ = cos x. Aan de rechterkant van de vergelijking werken we echter met de waarde v, zonder afgeleide. Oftewel als we die v differentiëren die in de integrand aan de rechterkant van de vergelijking staat, moeten we precies de door ons gekozen v′ van de linkerkant van de vergelijking krijgen. We zoeken dus een functie die na differentiëren gelijk is aan cos x. Anders gezegd — we integreren v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

We schrijven in een tabel op wat we al weten:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

De waarden uit deze tabel vullen we in de formule

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

in en we krijgen:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

We zien dat we de integraal in een andere vorm hebben kunnen schrijven, die we gemakkelijker kunnen oplossen. De uitdrukking x · sin x herschrijven we verder niet, we rekenen alleen de integraal rechts nog uit. Dat is al een eenvoudige standaardintegraal:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+c$$

We kunnen dus schrijven dat

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+c\end{array}$$

Dat is al het resultaat.

Verkeerde keuze van functies

Aan dit voorbeeld laten we nog zien wat er zou gebeuren als we de functies u en v′ anders kozen. Eerder kozen we

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

dus nu proberen we het omgekeerd:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

We berekenen de waarden u′ en v. We krijgen:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Nu integreren we v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

We schrijven het in een tabel op:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

We vullen in de formule in:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

We zien dat we er niet veel mee opgeschoten zijn. In de opgave hebben we de integraal van x · cos x en nu zijn we met de methode van partiële integratie bij de integraal $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$ aangekomen. Dit is de verkeerde weg.

Hoe kies je de functies u en v'

Helaas bestaat er geen universele regel, je moet er een beetje gevoel voor hebben. Het helpt ook als je kijkt wat je verderop met die functies gaat doen. De basisformule waarvan we uitgaan, ziet er zo uit:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Als we een functie f integreren die de vorm van een product heeft, proberen we haar te splitsen in functies u en v′ zodat geldt f = u · v′. Het doel van de methode van partiële integratie is dat de integraal rechts $\int u^{\prime }\cdot v$ eenvoudiger is dan de integraal links. De uitdrukking u · v interesseert ons niet zo, die mag willekeurig ingewikkeld zijn.

Om te bereiken dat de integraal rechts eenvoudiger wordt, is het handig om voor u een functie te kiezen die na differentiëren eenvoudiger wordt. Dat zijn typisch functies van het type xⁿ, daar wordt de functie na differentiëren een graad eenvoudiger. Uit x² krijgen we bijvoorbeeld 2x en uit x krijgen we 1 — dat is helemaal ideaal.

Voor v′ proberen we daarentegen iets te nemen dat na integreren niet ingewikkelder wordt. We kunnen gewoonlijk niet verwachten dat we na het integreren van v′ een eenvoudigere functie krijgen, maar we kunnen hopen op een functie die ongeveer even ingewikkeld is. Dat zijn typisch de sinus en de cosinus, want de een wordt na integreren de ander, en dat vinden we niet erg.

Tweede voorbeeld

We proberen een ingewikkelder voorbeeld:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

De integraal van de functie e^x is weer e^x, dus dat is een ideale kandidaat om te integreren. De afgeleide van x² is daarentegen 2x, wat een eenvoudigere uitdrukking is. We kiezen de functies dus zo:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

De hele tabel ziet er zo uit:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

We vullen in de formule in:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

We hebben een eenvoudigere integraal gekregen, maar die kunnen we nog steeds niet helemaal berekenen. We voeren nog een ronde partiële integratie uit. Nu berekenen we dus deze integraal:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

De werkwijze is dezelfde als in de vorige stap. We kiezen de functies zo:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

En we krijgen:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Het getal 2 halen we buiten de integraal en we krijgen:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

En de integraal van e^x is weer e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Dit resultaat vullen we terug in de vorige vergelijking in:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Na invullen krijgen we:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

En nu hoeven we het resultaat alleen nog een beetje in een menselijkere vorm te schrijven. Eerst werken we de haakjes weg door de inhoud ervan met −1 te vermenigvuldigen en daarna halen we e^x buiten haakjes:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

En we hebben het resultaat.

Integraal van de logaritme

Dit is dé klassieker bij partiële integratie. Kijk naar de opgave van deze legendarische integraal:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Het interessante aan deze integraal is dat we haar met partiële integratie oplossen, hoewel er geen product in staat. Dat doen we eenvoudig door de logaritme met één te vermenigvuldigen. Daarmee veranderen we de functie die we integreren niet, maar we krijgen er wel een vermenigvuldiging in.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Hoe kiezen we de functies u en v′? De functie ln x kunnen we nog niet integreren (haar integraal zoeken we juist), dus de logaritme gaan we differentiëren. De één gaan we integreren. Hieruit volgt:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

De afgeleide van de logaritme is 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

en de integraal van één is x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

We vullen de tabel aan:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

En we vullen in de formule in:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

We berekenen de integraal aan de rechterkant:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

We krijgen dus het resultaat:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$