Partielle Integration

Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, verwendet man, wenn man eine Stammfunktion zu einer Funktion finden will, die als Produkt vorliegt.

Herleitung der Formel

Die Herleitung beruht auf der klassischen Ableitungsregel.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Wir nehmen also an, dass wir Funktionen u und v haben und dass sie auf einem Intervall J differenzierbar sind, d. h. u′ und v′ existieren. Nun integrieren wir beide Seiten. Wir erhalten:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Auf der linken Seite können wir das Integral und die Ableitung weglassen, denn wenn wir eine Funktion ableiten und anschließend wieder integrieren, erhalten wir die ursprüngliche Funktion (bis auf die Konstante c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Wir lösen nach dem Integral auf, in dem die Funktion v abgeleitet wird:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Die Funktion $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ ist also eine Stammfunktion der Funktion u · v′. Das werden wir im Folgenden nutzen.

Erstes Beispiel

An einem Beispiel zeigen wir, wie wir die Methode der partiellen Integration verwenden. Wir berechnen das Integral

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Dieser Typ von Aufgabe lässt sich mit den gewöhnlichen Mitteln, die wir im Grundlagenartikel über Integrale vorgestellt haben, nicht lösen. Da die gegebene Funktion ein Produkt ist, verwenden wir die Methode der partiellen Integration.

In der Formel

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

haben wir die Funktionen u und v, die wir geeignet wählen müssen. Was wird jetzt also von uns verlangt – nach der vorherigen Formel können wir das Integral $\int u\cdot v^{\prime }$ berechnen. In der Aufgabe haben wir aber nichts dergleichen, dort steht x · cos x, nirgends eine Ableitung von v, wie es die Formel verlangt. Wir müssen also die Funktion x · cos x in ein Produkt zweier Funktionen zerlegen. Von der einen Funktion erklären wir, dass sie u sein wird, und von der anderen, dass sie v′ sein wird.

Die geeignete Wahl ist sehr wichtig, denn bei einer schlechten Wahl machen wir uns das Vorgehen eher komplizierter. Sieh dir an, was wir auf der rechten Seite erhalten, wenn wir die vorherige Formel verwenden. Mit dem Ausdruck u · v wird es kein Problem geben, aber wir müssen das Integral $\int u^{\prime }\cdot v$ berechnen. Die Funktion u sollten wir also ableiten können und die Funktion v′ sollten wir integrieren können.

Die Funktionen wählen wir so:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Damit haben wir die linke Seite der Gleichung erhalten, denn sie enthält im Integral genau das Produkt u · v′. Auf der rechten Seite haben wir weiter das Produkt u · v und ein weiteres Integral. Wir müssen also u′ und v berechnen. Die Ableitung von u ist einfach:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Nun müssen wir aus v′ das v berechnen, also v′ integrieren. Noch einmal – wir haben v′ = cos x gewählt. Auf der rechten Seite der Gleichung arbeiten wir aber mit dem Wert v, ohne Ableitung. Wenn wir also das v ableiten, das im Integranden auf der rechten Seite der Gleichung steht, müssen wir genau das von uns gewählte v′ von der linken Seite erhalten. Wir suchen also eine Funktion, die nach dem Ableiten gleich cos x ist. Anders gesagt – wir integrieren v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Wir schreiben in eine Tabelle, was wir schon kennen:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Aus dieser Tabelle setzen wir in die Formel

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

ein und erhalten Folgendes:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Wir sehen, dass wir das Integral in eine andere Form umgeformt haben, die wir leichter lösen können. Den Ausdruck x · sin x formen wir nicht weiter um, wir berechnen nur noch das Integral rechts. Das ist schon ein einfaches Grundintegral:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Wir können also schreiben, dass

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+c\end{array}$$

Das ist schon das Ergebnis.

Schlechte Wahl der Funktionen

An diesem Beispiel versuchen wir noch zu zeigen, was passieren würde, wenn wir die Funktionen u und v′ anders wählen würden. Vorher haben wir gewählt

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

jetzt versuchen wir es also umgekehrt:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Wir berechnen die Werte u′ und v. Wir erhalten:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Jetzt integrieren wir v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Wir schreiben es in eine Tabelle:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Wir setzen in die Formel ein:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Wir sehen, dass uns das nicht viel geholfen hat. In der Aufgabe haben wir das Integral von x · cos x, und jetzt sind wir mit der partiellen Integration beim Integral $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$ gelandet. So geht es nicht.

Wie man die Funktionen u und v' wählt

Leider gibt es keine allgemeingültige Regel, du brauchst ein bisschen Gespür. Außerdem hilft es, wenn du dir ansiehst, was du mit den Funktionen weiter machen wirst. Die Grundformel, von der wir ausgehen, sieht so aus:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Wenn wir eine Funktion f integrieren, die ein Produkt ist, versuchen wir, sie so in die Funktionen u und v′ zu zerlegen, dass f = u · v′ gilt. Ziel der partiellen Integration ist, dass das Integral auf der rechten Seite $\int u^{\prime }\cdot v$ einfacher ist als das Integral auf der linken Seite. Der Ausdruck u · v interessiert uns nicht besonders, er darf beliebig kompliziert sein.

Damit das Integral rechts einfacher wird, wählt man für u am besten eine Funktion, die sich beim Ableiten vereinfacht. Typisch sind Funktionen der Form xⁿ, bei denen sich die Funktion beim Ableiten um einen Grad vereinfacht. Zum Beispiel erhalten wir aus x² die Funktion 2x und aus x die Funktion 1 – das ist ideal.

Für v′ dagegen versuchen wir etwas zu nehmen, das beim Integrieren nicht komplizierter wird. Wir können normalerweise nicht erwarten, dass wir nach dem Integrieren von v′ eine einfachere Funktion erhalten, aber wir können auf eine ungefähr gleich komplizierte Funktion hoffen. Typisch sind Sinus und Kosinus, weil beim Integrieren der eine in den anderen übergeht, was uns nicht stört.

Zweites Beispiel

Wir versuchen ein komplizierteres Beispiel:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Das Integral der Funktion e^x ist wieder e^x, sie ist also ein idealer Kandidat zum Integrieren. Dagegen erhalten wir als Ableitung von x² den Term 2x, der einfacher ist. Wir wählen die Funktionen also so:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Die ganze Tabelle sieht so aus:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Wir setzen in die Formel ein:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Wir haben ein einfacheres Integral erhalten, können es aber noch immer nicht ganz berechnen. Wir führen eine weitere Runde der partiellen Integration durch. Wir berechnen also jetzt dieses Integral:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Das Vorgehen ist dasselbe wie im vorherigen Schritt. Wir wählen die Funktionen so:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Und erhalten:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Die Zahl 2 klammern wir vor das Integral aus und erhalten:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Und das Integral von e^x ist wieder e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Dieses Ergebnis setzen wir rückwärts in die vorherige Gleichung ein:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Und jetzt formen wir das Ergebnis nur noch ein bisschen in eine menschlichere Form um. Zuerst lösen wir die Klammer auf, indem wir ihren Inhalt mit −1 multiplizieren, und dann klammern wir e^x aus:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Und wir haben das Ergebnis.

Integral des Logarithmus

Das ist so ein Evergreen der partiellen Integration. Sieh dir die Aufgabe dieser Integrallegende an:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Interessant an diesem Integral ist, dass wir es mit partieller Integration lösen, obwohl dort kein Produkt steht. Ganz einfach, indem wir den Logarithmus mit eins multiplizieren. Dadurch ändern wir die Funktion, die wir integrieren, nicht, aber wir erhalten dort eine Multiplikation.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Wie wählen wir die Funktionen u und v′? Die Funktion ln x können wir noch nicht integrieren (ihr Integral suchen wir ja gerade), also werden wir den Logarithmus ableiten. Integrieren werden wir die Eins. Daraus erhalten wir:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Die Ableitung des Logarithmus ist 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

und das Integral der Eins ist x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Wir ergänzen die Tabelle:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Und setzen in die Formel ein:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Wir berechnen das Integral auf der rechten Seite:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Wir erhalten also das Ergebnis:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$