Integrarea prin părți

Integrarea prin părți (în latină per partes) se folosește atunci când vrem să găsim primitiva unei funcții care are forma unui produs.

Deducerea formulei

Deducerea se bazează pe formula clasică a derivatelor.

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Presupunem deci că avem funcțiile u și v și că sunt derivabile pe un interval J, adică există u′ și v′. Acum integrăm ambii membri. Obținem:

$\int (u \cdot v)^{'} = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

În membrul stâng putem elimina integrala și derivata, pentru că dacă derivăm o funcție și apoi o integrăm la loc, obținem funcția inițială (până la o constantă C).

$u \cdot v = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

Izolăm integrala în care derivăm funcția v:

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

Așadar funcția $u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$ este o primitivă a funcției u · v′. Vom folosi acest rezultat în continuare.

Primul exemplu

Pe un exemplu vedem cum folosim metoda integrării prin părți. Calculăm integrala

$\int x \cdot \cos x d x$

Acest tip de integrală nu se poate rezolva cu mijloacele obișnuite, pe care le-am prezentat în articolul de bază despre integrale. Cum funcția dată are forma unui produs, folosim integrarea prin părți.

În formula

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

apar funcțiile u și v, pe care trebuie să le alegem într-un mod potrivit. Deci ce se cere de la noi acum – după formula precedentă știm să calculăm integrala $\int u \cdot v^{'}$ . Totuși în enunț nu avem așa ceva, acolo avem x · cos x și nicăieri nu apare derivata lui v, așa cum cere formula. Trebuie deci să descompunem funcția x · cos x într-un produs de două funcții. Despre una dintre ele spunem că este u, iar despre cealaltă că este v′.

Alegerea potrivită este foarte importantă, pentru că o alegere proastă ne complică mai degrabă calculul. Uită-te ce obținem în membrul drept dacă folosim formula precedentă. Cu expresia u · v nu va fi nicio problemă, dar va trebui să calculăm integrala $\int u^{'} \cdot v$ . Ar trebui deci să știm să derivăm funcția u și să integrăm funcția v′.

Alegem funcțiile astfel:

$u = x, v^{'} = \cos x$

Astfel am obținut membrul stâng al egalității, pentru că el conține sub integrală tocmai produsul u · v′. În membrul drept avem apoi produsul u · v și încă o integrală. Trebuie deci să calculăm u′ și v. Derivata lui u este simplă:

$u^{'} = x^{'} = 1$

Acum trebuie să calculăm v din v′, adică să integrăm v′. Încă o dată – noi am ales v′ = cos x. Dar în membrul drept al egalității lucrăm cu valoarea lui v, fără derivată. Cu alte cuvinte, dacă derivăm acel v din funcția de integrat din membrul drept, trebuie să obținem tocmai v′ ales de noi în membrul stâng. Căutăm deci o funcție care după derivare este egală cu cos x. Altfel spus – integrăm v′.

$v = \int v^{'} = \int \cos x = \sin x$

Notăm într-un tabel ce știm deja:

$[\begin{matrix} u = x, & v^{'} = \cos x \\ u^{'} = 1, & v = \sin x \end{matrix}]$

Din acest tabel înlocuim în formula

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v,$

și obținem:

$\int x \cdot \cos x d x = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x$

Vedem că am reușit să aducem integrala la o altă formă, pe care o rezolvăm mai ușor. Expresia x · sin x nu o mai prelucrăm, doar calculăm integrala din dreapta. Aceasta este o simplă integrală din tabel:

$\int \sin x d x = - \cos x + C$

Putem deci scrie că

$\begin{array}{rcl} \int x \cdot \cos x d x & = & x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x \\ = & x \cdot \sin x - (- \cos x) \\ = & x \cdot \sin x + \cos x + C \end{array}$

Acesta este rezultatul.

Alegerea proastă a funcțiilor

Să arătăm pe același exemplu ce s-ar întâmpla dacă am alege altfel funcțiile u și v′. Mai înainte am ales

$u = x, v^{'} = \cos x,$

așa că acum încercăm invers:

$u = \cos x, v^{'} = x$

Calculăm valorile u′ și v. Obținem:

$u^{'} = (\cos x)^{'} = - \sin x$

Acum integrăm v′:

$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C$

Le scriem în tabel:

$[\begin{matrix} u = \cos x, & v^{'} = x \\ u^{'} = - \sin x, & v = \frac{x^{2}}{2} \end{matrix}]$

Înlocuim în formulă:

$\int x \cos x = \cos x \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int - \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$

Vedem că nu ne-am ajutat prea mult. În enunț avem integrala lui x · cos x, iar acum, prin metoda integrării prin părți, am ajuns la integrala lui $- \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$ . Pe aici nu merge.

Cum alegem funcțiile u și v'

Din păcate nu există o regulă universală, trebuie să ai puțin simț pentru asta. Ajută și dacă te uiți ce vei face mai departe cu funcțiile respective. Formula de bază, de la care pornim, arată astfel:

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

Dacă integrăm o funcție f care are forma unui produs, încercăm să o descompunem în funcțiile u și v′ astfel încât să avem f = u · v′. Scopul integrării prin părți este ca integrala din membrul drept $\int u^{'} \cdot v$ să fie mai simplă decât integrala din membrul stâng. Expresia u · v nu ne interesează prea mult, ea poate fi oricât de complicată.

Ca să obținem o integrală mai simplă în dreapta, este potrivit să alegem drept u o funcție care se simplifică după derivare. De obicei sunt funcții de tipul xⁿ, la care după derivare gradul scade cu unu. De exemplu din x² obținem 2x, iar din x obținem 1 – asta este cu totul ideal.

În schimb, drept v′ încercăm să luăm ceva ce nu devine mai complicat după integrare. De obicei nu putem aștepta ca după integrarea lui v′ să obținem o funcție mai simplă, dar putem spera la o funcție aproximativ la fel de complicată. De obicei sunt sinusul și cosinusul, pentru că unul se integrează în celălalt, ceea ce nu ne deranjează.

Al doilea exemplu

Încercăm un exemplu mai complicat:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x$

Integrala funcției e^x este din nou e^x, deci este candidatul ideal pentru integrare. În schimb, derivata lui x² este 2x, o expresie mai simplă. Alegem deci funcțiile astfel:

$u = x^{2}, v^{'} = e^{x}$

Tabelul complet va arăta astfel:

$[\begin{matrix} u = x^{2}, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2 x, & v = e^{x} \end{matrix}]$

Înlocuim în formulă:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

Am obținut o integrală mai simplă, dar încă nu o putem calcula complet. Mai facem o dată integrarea prin părți. Calculăm deci această integrală:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x$

Procedeul este același ca în pasul precedent. Alegem funcțiile astfel:

$[\begin{matrix} u = 2 x, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2, & v = e^{x} \end{matrix}]$

Și obținem:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - \int 2 e^{x} d x$

Scoatem numărul 2 în fața integralei și obținem:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot \int e^{x} d x$

Iar integrala lui e^x este din nou e^x:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Înlocuim acest rezultat în egalitatea precedentă:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

După înlocuire obținem:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x})$

Acum mai aducem rezultatul la o formă mai prietenoasă. Mai întâi eliminăm paranteza, înmulțind conținutul ei cu −1, apoi scoatem factor comun e^x:

$\begin{array}{rcl} \int x^{2} \cdot e^{x} d x & = & x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}) \\ = & x^{2} \cdot e^{x} - 2 x \cdot e^{x} + 2 \cdot e^{x} \\ = & e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) \end{array}$

Și avem rezultatul.

Integrala logaritmului

Aceasta este un fel de „evergreen” al integrării prin părți. Uită-te la enunțul acestei legende a integralelor:

$\int \ln x d x$

Lucrul interesant la această integrală este că, deși nu apare niciun produs, o vom rezolva prin integrare prin părți. Pur și simplu înmulțim logaritmul cu unu. Astfel nu schimbăm funcția pe care o integrăm, dar apare o înmulțire.

$\int 1 \cdot \ln x d x$

Cum alegem funcțiile u și v′? Funcția ln x încă nu știm s-o integrăm (tocmai integrala ei o căutăm), așa că logaritmul îl vom deriva. Vom integra unu. Rezultă:

$u = \ln x, v^{'} = 1$

Derivata logaritmului este 1/x:

$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

iar integrala lui unu este x:

$\int 1 d x = x$

Completăm tabelul:

$[\begin{matrix} u = \ln x, & v^{'} = 1 \\ u^{'} = \frac{1}{x}, & v = x \end{matrix}]$

Și înlocuim în formulă:

$\int \ln x d x = x \cdot \ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x$

Calculăm integrala din membrul drept:

$\int \frac{1}{x} \cdot x d x = \int 1 d x = x$

Obținem astfel rezultatul:

$\int \ln x d x = x \cdot \ln x - x + C$

Capitole: Integrala, Integrarea prin părți, Schimbarea de variabilă, Integrala definită

« Anterior: Integrala

Următor: Schimbarea de variabilă »