Интегриране по части

Интегрирането по части (на латински per partes) се използва, когато искаме да намерим примитивна функция на функция, която е във вид на произведение.

Извеждане на формулата

Извеждането се основава на класическата формула за производни.

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Да предположим, че имаме функции u и v и че са диференцируеми в някакъв интервал J, т.е. съществуват u′ и v′. Сега интегрираме двете страни. Получаваме:

$\int (u \cdot v)^{'} = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

От лявата страна можем да премахнем интеграла и производната, защото ако диференцираме някаква функция и след това я интегрираме обратно, получаваме първоначалната функция (с точност до константата c).

$u \cdot v = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

Изразяваме интеграла, в който е диференцирана функцията v:

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

Т.е. функцията $u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$ е примитивна функция на функцията u · v′. Това ще използваме по-нататък.

Първи пример

С един пример ще покажем как ще използваме интегрирането по части. Ще пресметнем интеграла

$\int x \cdot \cos x d x$

Този тип пример не може да се реши с обикновените средства, които представихме в основната статия за интегралите. Тъй като зададената функция е във вид на произведение, ще използваме интегрирането по части.

Във формулата

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

имаме функции u и v, които трябва да изберем по подходящ начин. Какво се иска от нас сега – според предишната формула умеем да пресметнем интеграла $\int u \cdot v^{'}$ . В условието обаче нямаме нищо такова, там имаме x · cos x, никъде няма производна на v, както иска формулата. Затова трябва да разложим функцията x · cos x на произведение на две функции. За едната функция ще кажем, че е u, а за другата v′.

Подходящият избор е много важен, защото при неподходящ избор по-скоро си усложняваме работата. Погледни какво получаваме от дясната страна, ако използваме предишната формула. С израза u · v няма да има проблем, но ще трябва да пресметнем интеграла $\int u^{'} \cdot v$ . Затова трябва да умеем да диференцираме функцията u и да интегрираме функцията v′.

Избираме функциите така:

$u = x, v^{'} = \cos x$

Така получихме лявата страна на равенството, защото тя съдържа в интеграла произведението u · v′. От дясната страна имаме още произведението u · v и още един интеграл. Затова трябва да пресметнем u′ и v. Производната на u е проста:

$u^{'} = x^{'} = 1$

Сега от v′ трябва да пресметнем v, т.е. интегрираме v′. Още веднъж – ние избрахме v′ = cos x. От дясната страна на равенството обаче работим със стойността v, без производна. С други думи, ако диференцираме това v, което се намира в подинтегралната функция от дясната страна на равенството, трябва да получим избраното от нас v′ от лявата страна на равенството. Затова търсим функция, която след диференциране е равна на cos x. Иначе казано – интегрираме v′.

$v = \int v^{'} = \int \cos x = \sin x$

Записваме в таблица това, което вече знаем:

$[\begin{matrix} u = x, & v^{'} = \cos x \\ u^{'} = 1, & v = \sin x \end{matrix}]$

От тази таблица заместваме във формулата

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v,$

с което получаваме това:

$\int x \cdot \cos x d x = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x$

Виждаме, че успяхме да преобразуваме интеграла в друг вид, който вече ще решим по-лесно. Израза x · sin x няма да преобразуваме повече, само ще пресметнем интеграла вдясно. Това вече е прост табличен интеграл:

$\int \sin x d x = - \cos x + c$

Така можем да запишем, че

$\begin{array}{rcl} \int x \cdot \cos x d x & = & x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x \\ = & x \cdot \sin x - (- \cos x) \\ = & x \cdot \sin x + \cos x + c \end{array}$

Това е резултатът.

Неподходящ избор на функциите

Нека на този пример покажем още какво би станало, ако изберем функциите u и v′ по друг начин. Преди това избрахме

$u = x, v^{'} = \cos x,$

така че сега ще опитаме обратно:

$u = \cos x, v^{'} = x$

Пресмятаме стойностите u′ и v. Получаваме:

$u^{'} = (\cos x)^{'} = - \sin x$

Сега интегрираме v′:

$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + c$

Записваме го в таблица:

$[\begin{matrix} u = \cos x, & v^{'} = x \\ u^{'} = - \sin x, & v = \frac{x^{2}}{2} \end{matrix}]$

Заместваме във формулата:

$\int x \cos x = \cos x \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int - \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$

Виждаме, че не си помогнахме много. В условието имаме интеграл от x · cos x, а сега с интегрирането по части стигнахме до интеграла $- \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$ . Този път не води доникъде.

Как да избираме функциите u и v'

За съжаление няма универсално правило, трябва да имаш малко усет. Помага и ако погледнеш какво ще правиш по-нататък с тези функции. Основната формула, от която тръгваме, изглежда така:

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

Когато интегрираме функция f, която е във вид на произведение, се опитваме да я разложим на функции u и v′ така, че да е изпълнено f = u · v′. Целта на интегрирането по части е интегралът от дясната страна $\int u^{'} \cdot v$ да е по-прост от интеграла от лявата страна. Изразът u · v не ни интересува особено, той може да е колкото си иска сложен.

За да бъде интегралът отдясно по-прост, е подходящо за u да изберем такава функция, която след диференциране се опростява. Обикновено това са функции от вида xⁿ, при тях след диференциране функцията се опростява с една степен. Например от x² получаваме 2x, а от x получаваме 1 – това е напълно идеално.

Обратно, за v′ се опитваме да вземем нещо, което след интегриране няма да стане по-сложно. Обикновено не можем да очакваме, че след интегриране на v′ ще получим по-проста функция, но можем да се надяваме на приблизително толкова сложна функция. Обикновено това са синусът и косинусът, защото единият се интегрира в другия, което не ни пречи.

Втори пример

Да опитаме по-сложен пример:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x$

Интегралът на функцията e^x е отново e^x, така че това е идеален кандидат за интегриране. Обратно, производната на x² е 2x, което е по-прост израз. Затова избираме функциите така:

$u = x^{2}, v^{'} = e^{x}$

Цялата таблица ще изглежда така:

$[\begin{matrix} u = x^{2}, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2 x, & v = e^{x} \end{matrix}]$

Заместваме във формулата:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

Получихме по-прост интеграл, но все още не можем да го пресметнем докрай. Прилагаме още веднъж интегриране по части. Сега ще пресмятаме този интеграл:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x$

Методът ще е същият като в предишната стъпка. Избираме функциите така:

$[\begin{matrix} u = 2 x, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2, & v = e^{x} \end{matrix}]$

И получаваме:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - \int 2 e^{x} d x$

Числото 2 изнасяме пред интеграла и получаваме:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot \int e^{x} d x$

А интегралът от e^x е отново e^x:

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Този резултат заместваме обратно в предишното равенство:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

След заместването получаваме:

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x})$

А сега само ще преобразуваме малко резултата до по-удобен вид. Първо премахваме скобата, като умножим съдържанието ѝ по −1, и след това изнасяме e^x:

$\begin{array}{rcl} \int x^{2} \cdot e^{x} d x & = & x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}) \\ = & x^{2} \cdot e^{x} - 2 x \cdot e^{x} + 2 \cdot e^{x} \\ = & e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) \end{array}$

И имаме резултата.

Интеграл на логаритъм

Това е една класика на интегрирането по части. Разгледай условието на легендарния интеграл:

$\int \ln x d x$

Интересното при този интеграл е, че въпреки че там няма произведение, ще го решаваме с интегриране по части. Просто умножаваме логаритъма по единица. Така не променяме функцията, която интегрираме, но получаваме умножение.

$\int 1 \cdot \ln x d x$

Как да изберем функциите u и v′? Функцията ln x все още не умеем да интегрираме (точно нейния интеграл търсим), затова логаритъма ще диференцираме. Единицата ще интегрираме. От това получаваме:

$u = \ln x, v^{'} = 1$

Производната на логаритъма е 1/x:

$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

а интегралът от единица е x:

$\int 1 d x = x$

Допълваме таблицата:

$[\begin{matrix} u = \ln x, & v^{'} = 1 \\ u^{'} = \frac{1}{x}, & v = x \end{matrix}]$

И заместваме във формулата:

$\int \ln x d x = x \cdot \ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x$

Пресмятаме интеграла от дясната страна:

$\int \frac{1}{x} \cdot x d x = \int 1 d x = x$

Получаваме резултата:

$\int \ln x d x = x \cdot \ln x - x + c$

Глави: Интеграл, Интегриране по части, Интегриране чрез субституция, Определен интеграл

« Предишна: Интеграли

Следваща: Интегриране чрез субституция »