定積分

定積分は、ある関数で表される図形の面積を求めるのに使います。

考え方

関数 $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ が与えられているとします。ここで、点 a = 0 から点 b = 10 までのグラフの曲線の下の面積はどれくらいか、と問うことができます。知りたいのは、x 軸、関数 f のグラフの曲線、点 a と b を通る x 軸に垂直な直線で囲まれた部分の面積です。図にまとめると次のようになります。

知りたいのは、青で示した部分の面積です。どうすれば求められるでしょうか。青い部分全体をいくつかの小さな部分に分け、それぞれの小さな部分の面積を計算して、それらをすべて足し合わせる方法があります。小さな部分の面積を計算するには、公式で面積が求められるような、扱いやすい形でなければなりません。長方形がちょうどよいでしょう。

まず、x₀ = a, x_n = b となる増加する点の列 x₀ から x_n を選びます。n が大きいほど、正確な結果が得られます。簡単な列 x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10 を選びましょう。隣り合う点から区間 [x_{i − 1}, x_i] をつくると、次の区間の集合が得られます。

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

1つ目の区間を D₁、2つ目を D₂ のように表します。次に、各区間 D_i での関数 f の最小値を求めます。たとえば、D₁ では関数 f は x = 0 で最小値をとり、f(0) = 0 です。D₂ では x = 1 で最小値をとり、$f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\fallingdotseq 1.0915$ です。以下同じように求めます。これらの関数の値に名前をつけます。区間 D_i での関数の最小値を m_i とします。つまり、$m_1=0,m_2\fallingdotseq 1.0915$ などです。

ここで、グラフに長方形をかき込みます。i 番目の長方形は、幅が x_i − x_{i − 1}、高さが m_i です。

各区間に長方形が1つずつあり、その長方形は曲線の下にすっぽり入り、しかもその中でいちばん高いものであることがわかります。i 番目の区間の長方形の高さは、ちょうど m_i です。これらの長方形の面積を足すと、曲線の下の面積のおおよその見積もりが得られます。曲線の下にかく長方形が多いほど、見積もりは正確になります。i 番目の長方形の面積は s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}) と計算できるので、すべての長方形の面積の和は次のようになります。

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

逆の考え方もできます。区間 D_i でいつも関数の最小値をとる代わりに、最大値をとるのです。これらの関数の値を M_i とします。すると、長方形は次のようになります。

ここでも各区間に長方形が1つずつあり、その高さはいつも M_i です。長方形の上の辺は、その区間で関数が最大値をとる点でだけ曲線に触れます。それぞれの長方形の面積を足せば、曲線の下の面積の別の見積もりが得られます。この面積は次のように計算できます。

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

ここでも、長方形の数を増やせば、より正確な見積もりが得られます。

下方和と上方和という概念を導入します。s(D, f) を下方和といい、その値は次のとおりです。

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

ここで、f は区間 [a, b] で連続な関数、x₀ = a, x_n = b、D は区間 [a, b] を小さな区間に分ける分割、n はその区間の数です。上方和を S(D, f) で表し、次のように定めます。

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

ここで、f は関数、D は区間 [a, b] を n 個の区間に分ける分割です。

そして、簡単にいうと、D が細かいほど s(D, f) と S(D, f) の値は互いに近づき、分割を限りなく細かくした極限では等しくなります。したがって、あらゆる分割 D について次の式を満たす実数 A がただ1つ存在します。

$$s(D,f)\leqq A\leqq S(D,f)$$

A はどんな数でしょうか。A はまさに曲線の下の面積です。曲線の下の長方形の面積の和以上で、しかも曲線の「上」の長方形の面積の和以下になる値は、それしかないからです。

定積分の定義

前の節から、区間 [a, b] で連続な関数 f について、すべての分割 D で $s(D,f)\leqq A\leqq S(D,f)$ が成り立つことがわかっています。この数 A を、関数 f の a から b までの定積分といいます。次のように表します。

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

さらに、ニュートン・ライプニッツの公式（微分積分学の基本定理）から、次の関係が成り立ちます。

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

ここで F は関数 f の原始関数です。右辺は次のように書くこともあります。

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

定積分の図形的な意味は、先ほど述べたとおり、0以上の値をとる関数 f の曲線の下の面積です。最初に関数 $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ を考えたので、区間 [0, 10] での面積を計算してみましょう。次の定積分を計算します。

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

まず、関数 f を積分します。

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

したがって、原始関数 F は $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$ の形です。定積分を書き出します。

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \fallingdotseq & 12.5+0.839+1\\ & \fallingdotseq & 14.339\end{array}$$

区間 [0, 10] での曲線の下の面積は、およそ14.339です。