Partiell integration

Partiell integration, även kallad integration per partes, används när vi vill hitta en primitiv funktion till en funktion som är en produkt.

Härledning av formeln

Vi bygger härledningen på den klassiska deriveringsformeln för en produkt.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Antag alltså att vi har funktionerna u och v och att de är deriverbara på något intervall J, det vill säga att u′ och v′ existerar. Nu integrerar vi båda led. Vi får:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

I vänsterledet kan vi ta bort integralen och derivatan, eftersom om vi deriverar en funktion och sedan integrerar den tillbaka får vi den ursprungliga funktionen (så när som på en konstant C).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Vi löser ut den integral där vi deriverar funktionen v:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Funktionen $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ är alltså en primitiv funktion till funktionen u · v′. Det kommer vi att använda i fortsättningen.

Första exemplet

Med ett exempel visar vi hur vi använder metoden partiell integration. Vi beräknar integralen

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Den här typen av uppgift går inte att lösa med de vanliga metoder som vi presenterade i grundartikeln om integraler. Eftersom den givna funktionen är en produkt använder vi partiell integration.

I formeln

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

har vi funktionerna u och v, och dem måste vi välja på ett lämpligt sätt. Så vad krävs av oss nu? Enligt formeln ovan kan vi beräkna integralen $\int u\cdot v^{\prime }$. Men i uppgiften har vi inget sådant, där har vi x · cos x och ingen derivata av v någonstans, som formeln kräver. Vi måste alltså dela upp funktionen x · cos x i en produkt av två funktioner. Den ena funktionen låter vi vara u och den andra v′.

Ett lämpligt val är mycket viktigt, eftersom vi vid ett dåligt val snarare gör lösningen krångligare. Titta på vad vi får i högerledet om vi använder formeln ovan. Med uttrycket u · v blir det inga problem, men vi måste beräkna integralen $\int u^{\prime }\cdot v$. Vi bör alltså kunna derivera funktionen u och integrera funktionen v′.

Vi väljer funktionerna så här:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Därmed har vi fått vänsterledet, eftersom integralen där innehåller just produkten u · v′. I högerledet har vi dessutom produkten u · v och ytterligare en integral. Vi måste alltså beräkna u′ och v. Derivatan av u är enkel:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Nu måste vi beräkna v utifrån v′, alltså integrera v′. Än en gång — vi har valt att v′ = cos x. Men i högerledet arbetar vi med värdet v, utan derivata. Alltså: om vi deriverar det v som finns i integranden i högerledet måste vi få just det v′ som vi valde i vänsterledet. Vi söker alltså en funktion som är lika med cos x efter derivering. Med andra ord — vi integrerar v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Vi skriver in det vi redan vet i en tabell:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Från tabellen sätter vi in i formeln

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

och får det här:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Vi ser att vi lyckades skriva om integralen till en annan form som vi kan lösa lättare. Uttrycket x · sin x förenklar vi inte vidare, vi beräknar bara integralen till höger. Det är redan en enkel tabellintegral:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+C$$

Vi kan alltså skriva att

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+C\end{array}$$

Därmed har vi resultatet.

Fel val av funktioner

Vi provar på det här exemplet att visa vad som skulle hända om vi valde funktionerna u och v′ på ett annat sätt. Tidigare valde vi

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

så nu provar vi tvärtom:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Vi beräknar värdena u′ och v. Vi får:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Nu integrerar vi v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

Vi skriver in det i tabellen:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Vi sätter in i formeln:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Vi ser att det inte hjälpte oss särskilt mycket. I uppgiften har vi integralen av x · cos x och nu har vi med partiell integration kommit fram till integralen $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$. Den vägen leder ingenvart.

Hur väljer man funktionerna u och v'

Tyvärr finns det ingen universell regel, du måste ha lite fingertoppskänsla. Det hjälper också att titta på vad du ska göra med funktionerna härnäst. Den grundläggande formeln som vi utgår från ser ut så här:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Om vi integrerar en funktion f som är en produkt försöker vi dela upp den i funktionerna u och v′ så att f = u · v′. Målet med partiell integration är att integralen i högerledet $\int u^{\prime }\cdot v$ ska vara enklare än integralen i vänsterledet. Uttrycket u · v är vi inte särskilt intresserade av, det kan vara hur komplicerat som helst.

För att integralen till höger ska bli enklare är det lämpligt att som u välja en funktion som blir enklare efter derivering. Typiskt är det funktioner av typen xⁿ, där exponenten blir ett steg lägre efter derivering. Till exempel får vi 2x av x² och 1 av x — det är helt idealiskt.

För v′ försöker vi tvärtom välja något som inte blir krångligare efter integrering. Vi kan oftast inte vänta oss att få en enklare funktion när vi integrerar v′, men vi kan hoppas på en ungefär lika komplicerad funktion. Typiskt är det sinus och cosinus, eftersom den ena integreras till den andra, vilket inte gör något.

Andra exemplet

Vi provar ett mer komplicerat exempel:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Integralen av funktionen e^x är återigen e^x, så den är en idealisk kandidat för integrering. Å andra sidan får vi 2x när vi deriverar x², vilket är ett enklare uttryck. Vi väljer alltså funktionerna så här:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Hela tabellen kommer att se ut så här:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Vi sätter in i formeln:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Vi fick en enklare integral, men vi kan ännu inte beräkna den helt. Vi gör ytterligare en omgång partiell integration. Nu beräknar vi alltså den här integralen:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Tillvägagångssättet är detsamma som i föregående steg. Vi väljer funktionerna så här:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Och vi får:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Talet 2 flyttar vi ut ur integralen och får:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Och integralen av e^x är återigen e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Det här resultatet sätter vi tillbaka i den föregående ekvationen:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Efter insättning får vi:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Nu återstår bara att skriva om resultatet till en snyggare form. Först tar vi bort parentesen genom att multiplicera dess innehåll med −1 och sedan bryter vi ut e^x:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Och vi har resultatet.

Integralen av logaritmen

Det här är en riktig evergreen bland integralerna med partiell integration. Titta på den här legendariska integralen:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Det intressanta med den här integralen är att vi löser den med partiell integration, trots att det inte finns någon produkt i den. Vi multiplicerar helt enkelt logaritmen med ett. Då ändrar vi inte funktionen som vi integrerar, men vi får en multiplikation.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Hur väljer vi funktionerna u och v′? Funktionen ln x kan vi ännu inte integrera (det är ju just dess integral vi söker), så logaritmen kommer vi att derivera. Ettan kommer vi att integrera. Det ger oss:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Derivatan av logaritmen är 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

och integralen av ettan är x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Vi fyller i tabellen:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Och sätter in i formeln:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Vi beräknar integralen i högerledet:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Vi får alltså resultatet:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+C$$